« Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exemple 3 : typo |
→Exemple 4 : Rédaction |
||
Ligne 490 :
En considérant le développement limité de la fonction <math> \scriptstyle{x\mapsto e^x} </math>, on peut écrire :
<math> 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1 </math>
On en déduit :
<math> x_n = 1 + o(1) </math>
On peut prendre à nouveau l’image par h<sub>n</sub> des trois membres de l’inégalité précédente.
Ligne 497 ⟶ 501 :
Comme h<sub>n</sub> est décroissante, on a :
<math> 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1 \Rightarrow h_n(1] < h_n(x_n) < h_n\left( 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) \right) </math>
Et par conséquent, on a :
<math> e^{-\frac 1n}<x_n<e^{1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right)} </math>
En considérant le développement limité de la fonction , on peut écrire :▼
▲En considérant le développement limité de la fonction <math> \scriptstyle{x \mapsto e^x} </math> , on peut écrire :
<math> 1-\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
On en déduit :
<math> x_n = 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) </math>
On peut prendre à nouveau l’image par h<sub>n</sub> des trois membres de l’inégalité précédente.
| |||