« Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices » : différence entre les versions
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→Notations : typo |
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Ligne 98 :
* si <math>1\leq p<+\infty</math>
<math>
||\vec{x}||_p=\
</math>
Ligne 107 :
</math>
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Si <math>\mathbf{A}=(a_{ij})\in\mathbb{K}^{n,n}</math>, nous avons:
Ligne 116 :
<math>||\mathbf{A}||_\infty=\max_{i=1,\ldots,n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|</math>
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# Une norme matricielle n'est pas nécessairement subordonnée à une norme vectorielle, comme par exemple la norme de Shur pour laquelle <math>||\mathbf{I}||_S=\sqrt{n}</math>;
# Sous les hypothèses de la proposition~\ref{prop:1.2}, nous avons :
:<math>
\forall \vec{x}\in\mathbb{K}^n,\quad\forall \mathbf{A}\in\mathbb{K}^{n,n},\quad ||\mathbf{A}\vec{x}||\leq ||\mathbf{A}||\;||\vec{x}||
</math>
Inversement, étant donnée une norme matricelle <math>||\cdot||</math> sur <math>\mathbb{K}^{n,n}</math>, il existe toujours une norme vectorielle <math>||\cdot||</math> telle que~\eqref{eq:1.6} soit vérifiée. On peut choisir par exemple :
<math>
\forall\vec{x}\in\mathbb{K}^n,\quad ||\vec{x}||=
x_1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots& & \vdots \\
x_n & 0 & \cdots & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
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