« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions

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Ligne 1 :
{{ébauche mathématiques}}
{{Exercice
| titre = Noyau et image
Ligne 48 ⟶ 47 :
:On a alors montré que pour tout <math>x\in\mathrm{Ker}(u^2),~x\in\mathrm{Ker}(u)</math>, ce qui est bien la définition de <math>\color{Red}{\mathrm{Ker}(u^2)\subset\mathrm{Ker}(u)}</math>.
 
{{Encadre
{{cadre simple
| contenu =
On a ainsi montré la première implication : <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}\Rightarrow\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)</math>
Ligne 62 ⟶ 61 :
:L'inclusion inverse est triviale : <math>\{0\}\subset\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)</math>.
 
{{Encadre
{{cadre simple
| contenu =
On a ainsi montré la deuxième implication : <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Rightarrow \mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>
}}
 
{{Encadre
{{cadre simple
| contenu =
'''Finalement, on a bien l'équivalence''' <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>