« Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices » : différence entre les versions
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Ligne 11 :
{{définition
Définition : On notera φ l’application défini par : ▼
| contenu =
<math> \begin{align}
Propriété 12 : φ est une forme bilinéaire sur Mm,n( ).▼
\phi :\left(M_{n,m}(\R)\right)^2&\longrightarrow\R \\
(M,N)&\longmapsto tr(^tM.N)
\end{align} </math>
}}
{{propriété
| titre = Propriété 10
| contenu =
}}
{{démonstration
| contenu =
En effet (,) et (A,B,C) , on a :
Et on a aussi :
}}
<br />
Propriété 13 : φ est un produite scalaire sur Mm,n( ).▼
{{propriété
| titre = Propriété 13
| contenu =
}}
On rappelle qu’un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
φ est une forme bilinéaire d’après la propriété
φ est symétrique d’après la propriété 11.▼
φ est
φ est positive d’après la propriété 9.▼
φ est donc un produit scalaire.
Muni de ce produit scalaire
Ce produit scalaire généralise le produit scalaire classique étudié en lycée.
En effet, si l’on considère un espace vectoriel de dimension n et que l’on assimile chaque vecteur de cet espace à la matrice colonne de ses coordonnées dans une base de cet espace, on aura :
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Nous noterons par la suite pour toute matrice A,B,C,D appartenant à
Nous noterons aussi :
AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.
Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur .
On introduit ainsi une géométrie matricielle.
Les propriétés générales des espaces euclidiens s’appliquent ainsi à
On a par exemple :
{{théorème
Théorème de Pythagore : Pour toutes matrices A,B,C appartenant à Mn,m( ),▼
| titre = Théorème de Pythagore
| contenu =
Autrement dit, dans tout triangle matriciel rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
}}
<br />
{{propriété
Propriété 14 : (A,B,C) (Mn,m( ))3 A.BC = BtA.C.▼
| titre = Propriété 14
| contenu =
En effet : ▼
}}
{{démonstration
| contenu =
}}
<br />
{{Bas de page | idfaculté = mathématiques
| |||