« Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Rédaction |
Rédaction |
||
Ligne 79 :
En effet, si l’on considère un espace vectoriel de dimension n et que l’on assimile chaque vecteur de cet espace à la matrice colonne de ses coordonnées dans une base de cet espace, on aura :
<math> \begin{align}
\forall u=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad
\forall v=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\qquad
\phi(u,v)&=tr\left(^t\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\right)
=tr\left(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\right)\\
&=tr\left((x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)\right)
=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
\end{align}</math>
Et l’on reconnaît le produit scalaire tel qu’il a été défini au lycée.
<math> u.v=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n </math>
Nous noterons par la suite pour toute matrice A,B,C,D appartenant à M<sub>m,n</sub>(ℝ).
| |||