« Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices » : différence entre les versions

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Rédaction
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Ligne 92 :
<math> u.v=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n </math>
 
Nous noterons par la suite pour toute matrice A,B,C,D appartenant à M<sub>m,n</sub>(ℝ). :
 
<math> \langle A|B \rangle=\phi(A,B) </math>
Nous noterons aussi :
 
<math> \overrightarrow{AB}=B-A </math>
 
<math> \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\phi(B-A,D-C)= \langle B-A|D-C \rangle= tr\left(^t(B-A)(D-C)\right) </math>
 
<math> AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}}=\sqrt{\phi(B-A,B-A)}= \sqrt{\langle B-A|B-A \rangle}= \sqrt{tr\left(^t(B-A)(B-A)\right)} </math>
AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.
 
Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur .:
 
<math> \overrightarrow{A}=\overrightarrow{0A} </math>
 
On introduit ainsi une géométrie matricielle.
 
 
Les propriétés générales des espaces euclidiens s’appliquent ainsi à M<sub>m,n</sub>(ℝ).
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Pour toutes matrices A,B,C appartenant à M<sub>m,n</sub>(ℝ),
<math> \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2 </math>
 
Autrement dit, dans tout triangle matriciel rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
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| titre = Propriété 14
| contenu =
<math> \forall (A,B,C)\in \left( M_{n,m}(\R) \right)^3\qquad\langle A.B|C\rangle = \langle B|^tA.C\rangle </math>
(A,B,C)  (Mn,m( ))3 A.BC = BtA.C.
}}
 
Ligne 126 ⟶ 138 :
| contenu =
En effet :
 
<math> \langle A.B|C\rangle =tr\left(^t(AB)C\right) =tr\left(^tB^tAC\right) =\langle B|^tA.C\rangle </math>
 
}}