Différences entre les versions de « Application linéaire/Exercices/Noyau et image »

(Ce n'est plus une ébauche)
(→‎Exercice 3 : typo)
{{Solution
| contenu =
* On suppose <math>x \in \rmmathrm{Ker}(u)</math>. On a alors <math>v(x) = (w\circ u)(x) = w(u(x)) = w(0)=0</math>. Donc <math>\rmmathrm{Ker}(u) \subset \rmmathrm{Ker}(v)</math>. De même, on trouve <math>\rmmathrm{Ker}(v) \subset \rmmathrm{Ker}(w)</math> et <math>\rmmathrm{Ker}(w) \subset \rmmathrm{Ker}(u)</math>.
 
Finalement, on a bien <math>\rmmathrm{Ker}(u) = \rmmathrm{Ker}(v) = \rmmathrm{Ker}(w)</math>
 
* On suppose <math>y \in \rmmathrm{Im}(u)</math>. Il existe <math>x \in E </math> tel que <math>y = u(x) = (v\circ w)(x) = v(w(x))</math>. Comme <math>w(x) \in E</math>, il vient <math>\rmmathrm{Im}(u) \subset \rmmathrm{Im}(v)</math>. De même, on trouve <math>\rmmathrm{Im}(v) \subset \rmmathrm{Im}(w)</math> et <math>\rmmathrm{Im}(w) \subset \rmmathrm{Im}(u)</math>.
 
Finalement, on a bien <math>\rmmathrm{Im}(u) = \rmmathrm{Im}(v) = \rmmathrm{Im}(w)</math>
}}
 
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modifications