Différences entre les versions de « Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues »

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* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ.
* Soit <math>f\in E</math>
:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math>
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_{-1}int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math>
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\ln(2)||f||_\infty</math>
 
* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math>
 
On montre que <math>|\varphi(f_n)|\tolongrightarrow_{n \rightarrow + \infty}\ln(2)</math>
 
{{cadre simple|contenu=Finalement <math>|||\varphi|||=\ln(2)</math>}}}}
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