« Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'une droite » : différence entre les versions
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==Représentation paramétrique d'une droite de l'espace==
Une droite de l'espace ne peut pas être caractérisée par une seule équation comme dans le cas d'un plan de l'espace.
Il faut au minimum deux équations, mais il est plus pratique d'en utiliser trois.
On appelle cela une représentation paramétrique d'une droite de l'espace.
{{Définition
| contenu =
Supposons une droite ''D'' de vecteur directeur :
:<math>\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>
et passant par un point A.
alors une '''représentation paramétrique''' de D s'écrit :
:<math>\left\{\begin{matrix}
x = a \cdot t + x_\mathrm{A} \\
y = b \cdot t + y_\mathrm{A} \\
z = c \cdot t + z_\mathrm{A}
\end{matrix}\right.</math>
}}
Remarques :
*A chaque point de la droite correspond une valeur de paramètre réel t et réciproquement.
*A partir d'une représentation paramétrique on peut facilement retrouver un point et un vecteur directeur de la droite D.
{{Propriété
| contenu =Supposons une droite ''D'' de vecteur directeur :
:<math>\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>
et passant par un point A.
On a alors :
<math>M(x_M; y_M; z_M)\in D </math>
si et seulement si il existe un réel '''t''' tel que
:<math>\left\{\begin{matrix}
x = a \cdot t + x_\mathrm{A} \\
y = b \cdot t + y_\mathrm{A} \\
z = c \cdot t + z_\mathrm{A}
\end{matrix}\right.</math>
}}
{{démonstration
| contenu =
<math>M(x_M; y_M; z_M)\in D </math>
si et seulement si il existe un réel '''t''' tel que :
:<math>\overrightarrow{\mathrm{AM}} = t \cdot \vec{u}</math>
si et seulement si (en écrivant l'égalité précédente avec les coordonnées) il existe un réel '''t''' tel que :
:<math>\left\{\begin{matrix}
x = a \cdot t + x_\mathrm{A} \\
y = b \cdot t + y_\mathrm{A} \\
z = c \cdot t + z_\mathrm{A}
\end{matrix}\right.</math>
}}
==Lien entre les différentes représentations paramétriques possibles==
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