« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions
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Nouvelle page : {{ébauche mathématiques}} Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : * <math>\sum_{n \ge 2} (ln (n))x^n</math> {{boîte déroulante|titre = ... |
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* <math>\sum_{n \ge 2} (ln (n))x^n</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Il faut utiliser le critère de d'Alembert. Soit <math>a_n = ln(n)</math>
<math>\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{ln(n+1)}{ln(n)}.</math> Or <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ln(n+1)}{ln(n)} = 1 = \lambda</math>
Le rayon de convergence est égal à <math>\tfrac{1}{\lambda}</math> donc RCV = 1.
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Ligne 11 ⟶ 15 :
* <math>\sum_{n \ge 1}\frac{n^n}{n!}x^n</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Soit <math>b_n = \frac{n^n}{n!}.</math> D'Alembert : <math>\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right|</math>
<math>\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{(n(1+\tfrac{1}{n}))^n}{n^n} = (1+\tfrac{1}{n})^n.</math>
Et on a vu dans l'[[Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert|exercice 9]] dans le chapitre sur les [[Série numérique|séries numériques]], que <math>\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n = e</math>
<math>R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{e}</math>
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Ligne 17 ⟶ 27 :
* <math>\sum_{n \ge 2}\frac{nln(n)}{n^2+1}x^n</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Soit <math>c_n = \frac{nln(n)}{n^2+1}.</math> D'Alembert : <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|</math>
<math>=\frac{(n+1)ln(n+1)}{(n+1)^2+1} \times \frac{n^2+1}{nln(n)}</math>
<math>=\frac{nln(n(1+\tfrac{1}{n})) + ln(n(1+\tfrac{1}{n}))}{nln(n)} \times \frac{n^2+1}{n^2+2n+2}</math>
<math>= \frac{nln(n) + nln(1+\tfrac{1}{n}) + ln(n) + ln(1+\tfrac{1}{n})}{nln(n)} \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}</math>
<math>= \left( 1 + \frac{ln(1+\tfrac{1}{n})}{ln(n)} + \frac{1}{n} + \frac{ln(1+\tfrac{1}{n})}{ln(n)} \right) \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}</math>
Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{ln(1+\tfrac{1}{n})}{ln(n)} = \frac{1}{n} = \frac{ln(1+\tfrac{1}{n})}{ln(n)} = 0</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})} = 1</math> donc <math>\lambda = 1\,</math> donc <math>R = 1\,</math>
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