« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions
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* <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
C'est bien une série entière de la forme <math>\sum_{n \ge 0} d_n x^n</math> mais
<math>d_n = \begin{cases}
0, & \mbox{si }n\mbox{ est impair} \\
\frac{1}{\binom{2k}{k}} = \frac{1}{\binom{n/2}{n}}, & \mbox{si }n\mbox{ est pair}\quad n=2k
\end{cases}</math>.
On ne peut donc pas appliquer la règle de d'Alembert ! Le rapport <math>\tfrac{d_{n+1}}{d_n}</math> n'est pas défini si <math>n</math> est pair. Pour <math>x</math> un réel fixé et non nul, on étudie la convergence absolue de la série numérique <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>. Posons <math>u_n = \frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math> et étudions la nature de la série à termes positifs <math>\sum_{n \ge 0} |u_n|</math>
<math>\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{x^(2n+1)}{\binom{2(n+1)}{n+1}} \times \frac{\binom{2n}{n}}{x^{2n}}</math>
<math>= \frac{x^{2n}x^2}{x^{2n}} \times \frac{\tfrac{(2n)!}{n!n!}}{\tfrac{(2(n+1))!}{(n+1)!(n+1)!}} = x^2\times \frac{(2n)!}{n!n!} \times\frac{n!(n+1)n!(n+1)}{(2n)!(2n+1)(2n+2)}</math>
<math>=x^2\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}</math>
Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{1}{4}.</math> D'après le critère de d'Alembert, si <math>\frac{x^2}{4} < 1</math>, ce qui équivaut à <math>x^2 < 4</math>, ce qui équivaut à <math>x < |2|</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0} u_n</math> converge absolument.
En revanche, si <math>|x| > 2, \sum_{n \ge 0} |u_n|</math> diverge (grossièrement) donc <math>\sum_{n \ge 0} u_n</math> diverge.
Ainsi,
* Si <math>|x| < 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math> converge absolument,
* si <math>|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math> diverge.
On en déduit que <math>R = 2</math>.
'''Autre méthode ''' : on considère la série entière de la variable y, <math>\sum_{n \ge 0} \frac{1}{\binom{2n}{n}} y^n</math>, de la forme <math>\sum_{n \ge 0} b_n y^n, b_n = \frac{1}{\binom{2n}{n}} \ne 0.</math>
On peut appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer son rayon de convergence.
<math>\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2(n+1)}{n+1}}</math>
<math>= \frac{(2n)!}{(2(n+1))!} \times\frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4}</math> donc <math>\sum_{n \ge 0} b_n y^n</math> a pour rayon de convergence 4.
* Si <math>|x| < 4,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}y^n</math> converge absolument,
* si <math>|x| > 4,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}y^n</math> diverge.
En posant <math>y = x^2\,</math>, on en déduit que si <math>|x^2| < 4\,</math>, donc
* si <math>|x| < 2, \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}</math> converge absolument,
* si <math>|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}</math> diverge.
D'où <math>R = 2.</math>
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