Différences entre les versions de « Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée »

(→‎Exercice 5-2 : correction erreur)
(→‎Exercice 5-2 : typo)
 
On a :
:<math> f_n'(x) = (n+x)x^{n-1}e^x </math>
 
<math> f_n'(x) = (n+x)x^{n-1}e^x </math>
 
Cette dérivée est positive sur ]0 ;1[ et par conséquent f<sub>n</sub> est croissante sur ]0 ;1[. Comme f<sub>n</sub>(0) = -1 et f<sub>n</sub>(1) = e – 1, nous en déduisons d’après le théorème de la bijection que l’équation f<sub>n</sub>(x) = 0 admet une solution sur ]0 ;1[ que l’on notera x<sub>n</sub>.
 
Pour cela, nous remarquons que :
:<math> x^ne^x=1 \Leftrightarrow x=e^{-\frac xn} \Leftrightarrow x=-nlnxn\ln x </math>
 
:<math> \scriptstyle{x\mapsto-nlnxn\ln x} \text{</math> a pour dérivée } <math> \scriptstyle{x\mapsto-\frac nx} \text{</math> qui, visiblement, ne convient pas.} </math>
<math> x^ne^x=1 \Leftrightarrow x=e^{-\frac xn} \Leftrightarrow x=-nlnx </math>
:<math> \scriptstyle{x\mapsto e^{-\frac xn} \text{</math> a pour dérivée }}<math> \scriptstyle{x\mapsto -\frac{e^{-\frac xn}}n} \text{</math> qui, comme on peut le vérifier, remplit bien les deux conditions précédentes.} </math>
 
 
<math> \scriptstyle{x\mapsto-nlnx} \text{ a pour dérivée } \scriptstyle{x\mapsto-\frac nx} \text{ qui, visiblement, ne convient pas.} </math>
 
 
<math> \scriptstyle{x\mapsto e^{-\frac xn} \text{ a pour dérivée }} \scriptstyle{x\mapsto -\frac{e^{-\frac xn}}n} \text{ qui, comme on peut le vérifier, remplit bien les deux conditions précédentes.} </math>
 
 
Nous poserons donc :
:<math> h_n = e^{-\frac xn} </math>
 
<math> h_n = e^{-\frac xn} </math>
 
Comme h<sub>n</sub> est décroissante, on a :
:<math> 0<x_n<1 \Rightarrow h_n(1)<h_n(x_n)<h_n(0) </math>
 
<math> 0<x_n<1 \Rightarrow h_n(1)<h_n(x_n)<h_n(0) </math>
 
Et par conséquent, on a :
<math> e^{-\frac 1n} < x_n < 1 </math>
 
En considérant le développement limité de la fonction <math>x \mapsto e<sup>^x</supmath>, on peut écrire :
:<math> 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1 </math>
 
<math> 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1 </math>
 
On en déduit :
:<math> x_n = 1 + o(1) </math>
 
<math> x_n = 1 + o(1) </math>
 
On peut prendre à nouveau l’image par h<sub>n</sub> des trois membres de l’inégalité précédente.
 
Comme h<sub>n</sub> est décroissante, on a :
:<math> 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1 \Rightarrow h_n(1] < h_n(x_n) < h_n\left( 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) \right) </math>
 
<math> 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1 \Rightarrow h_n(1] < h_n(x_n) < h_n\left( 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) \right) </math>
 
Et par conséquent, on a :
:<math> e^{-\frac 1n}<x_n<e^{- \frac 1n + \frac 1{n^2} + o\left( \frac 1{n^2} \right)} </math>
 
<math> e^{-\frac 1n}<x_n<e^{- \frac 1n + \frac 1{n^2} + o\left( \frac 1{n^2} \right)} </math>
 
 
En considérant le développement limité de la fonction x ↦ e<sup>x</sup>, on peut écrire :
:<math> 1-\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
 
<math> 1-\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
 
On en déduit :
:<math> x_n = 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) </math>
 
<math> x_n = 1 - \frac 1n + o\left( \frac 1n \right) </math>
 
 
 
On peut prendre à nouveau l’image par h<sub>n</sub> des trois membres de l’inégalité précédente.
 
 
Comme h<sub>n</sub> est décroissante, on a :
:<math> 1-\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) \Rightarrow h_n \left( 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) \right) < h_n(x_n) < h_n \left( 1-\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) \right) </math>
 
<math> 1-\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) \Rightarrow h_n \left( 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) \right) < h_n(x_n) < h_n \left( 1-\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) \right) </math>
 
Et par conséquent, on a :
:<math> e^{-\frac 1n +\frac 1{n^2} - \frac 3{2n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) } < x_n < e^{-\frac 1n + \frac 1{n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right)} </math>
 
<math> e^{-\frac 1n +\frac 1{n^2} - \frac 3{2n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) } < x_n < e^{-\frac 1n + \frac 1{n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right)} </math>
 
En considérant le développement limité de la fonction x ↦ e<sup>x</sup>, on peut écrire :
:<math> 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
 
<math> 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
 
On en déduit :
:<math> x_n = 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
 
<math> x_n = 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
 
 
 
On peut prendre à nouveau l’image par h<sub>n</sub> des trois membres de l’inégalité précédente.
 
Comme h<sub>n</sub> est décroissante, on a :
:<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} +o&\left( \frac 1{n^3} \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) \\
&\Rightarrow h_n\left( 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} +o\left( \frac 1{n^2} \right) \right) < h_n(x_n) < h_n\left( 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) \right)
 
Et par conséquent, on a :
:<math> e^{-\frac 1n +\frac 1{n^2} - \frac 3{2n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) } < x_n < e^{-\frac 1n + \frac 1{n^2} - \frac 3{2n^3} + \frac 8{3n^4} +o\left( \frac 1{n^4} \right)} </math>
 
<math> e^{-\frac 1n +\frac 1{n^2} - \frac 3{2n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) } < x_n < e^{-\frac 1n + \frac 1{n^2} - \frac 3{2n^3} + \frac 8{3n^4} +o\left( \frac 1{n^4} \right)} </math>
 
En considérant le développement limité de la fonction x ↦ e<sup>x</sup>, on peut écrire :
:<math> 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} + \frac{125}{24n^4} +o\left( \frac 1{n^4} \right) </math>
 
<math> 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} +o\left( \frac 1{n^3} \right) < x_n < 1-\frac 1n + \frac 3{2n^2} - \frac 8{3n^3} + \frac{125}{24n^4} +o\left( \frac 1{n^4} \right) </math>
 
On en déduit :
325

modifications