« Trace et transposée de matrice/Définition de la trace d'une matrice » : différence entre les versions
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Pour faire cette étude, nous nous placerons en dimension finie, la dimension des espaces étant m,n.
Nous savons qu’à tout endomorphisme, dans une base donnée, nous pouvons associer une matrice. Nous commencerons donc par donner la définition de la trace d’une matrice. Ceci étant, nous montrerons par la suite que cette définition ne dépend pas de la base choisie. Ce qui permettra de définir la trace d’un endomorphisme.
▲Soit M une matrice, on notera (M)<sub>i,j</sub> le coefficient de la ligne i colonne j.
A titre d’exemple, on rappelle la formule donnant le produit de deux matrices :
<math> \forall A \in \mathcal M_{m,n}(\R),\quad\forall B\in \mathcal M_{m,n}(\R)\qquad (A.B)_{i,j}=\sum_{k=1}^n (A)_{i,k}(B)_{k,j} </math>
Nous avons aussi de façon quasiment évidente :
<math> \forall (A,B)\in\left( \mathcal M_{n,m}(\R) \right)^2 \qquad \left( \forall (i,j)\in [\![1;n]\!]\times [\![1;m]\!] \quad (A)_{i,j} = (B)_{i,j}\right) \Leftrightarrow A=B </math>
{{définition
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▲<math> tr(A)=\sum_{k=1}^n (A)_{k,k} </math>
}}
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