« Trace et transposée de matrice/Propriétés » : différence entre les versions

<math> \forall(A,B)\in\left[ \mathcal M_n(\R) \right]^2,\quad\forall(\alpha,\beta)\in\R^2 </math>

tr\operatorname{Tr} (\alpha A+\beta B)&=\sum_{k=1}^n(\alpha A+\beta B)_{k,k}=\sum_{k=1}^n\left(\alpha (A)_{k,k}+\beta (B)_{k,k}\right) \\

&=\alpha\sum_{k=1}^n (A)_{k,k}+\beta\sum_{k=1}^n (B)_{k,k}=\alpha tr\operatorname{Tr}(A)+\beta tr\operatorname{Tr}(B)

<math> tr\operatorname{Tr}(^tA)=tr\operatorname{Tr}(A) </math>

<math> \forall(A,B)\in\left[ \mathcal M_n(\R) \right]^2\qquad tr\operatorname{Tr}(AB)=tr\operatorname{Tr}(BA) </math>

<math> tr\operatorname{Tr}(AB)=\sum_{k=1}^n(AB)_{k,k}=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n(A)_{k,i}(B)_{i,k}=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n(B)_{i,k}(A)_{k,i}=\sum_{i=1}^n(BA)_{i,i}=tr\operatorname{Tr}(BA)</math>

Soit A et B, deux matrices semblables. On a : trTr(A) = trTr(B).

<math>A = P. B. P<sup>^{-1}</supmath>. On a alors :

<math> tr\operatorname{Tr}(A)=tr\operatorname{Tr}(PBP^{-1})=tr\operatorname{Tr}((PB). (P^{-1}))=tr\operatorname{Tr}((P^{-1})(PB))=tr\operatorname{Tr}(P^{-1}PB)=tr\operatorname{Tr}(B) </math>