« Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices » : différence entre les versions
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| niveau = 15
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{{définition
Ligne 16 ⟶ 13 :
<math> \begin{align}
\phi :\left(\mathcal M_{n,m}(\R)\right)^2&\longrightarrow\R \\
(M,N)&\longmapsto
\end{align} </math>
}}
Ligne 32 ⟶ 29 :
<math> \begin{align}
\forall (\alpha,\beta)\in\R^2\qquad\forall (A,B,C)\in \left( \mathcal M_{n,m}(\R) \right)^2\qquad
\phi(\alpha A+\beta B,C)&=
&=
&=
&=\alpha
&=\alpha \phi(A,C)+\beta \phi(B,C)
\end{align} </math>
Ligne 44 ⟶ 41 :
<math> \begin{align}
\forall (\alpha,\beta)\in\R^2\qquad\forall (A,B,C)\in \left( M_{n,m}(\R) \right)^2\qquad
\phi(C,\alpha A+\beta B)&=
&=
&=\alpha
&=\alpha \phi(C,A)+\beta \phi(C,B)
\end{align} </math>
Ligne 82 ⟶ 79 :
\forall u=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad
\forall v=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\qquad
\phi(u,v)&=
=
&=
=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
\end{align}</math>
Ligne 100 ⟶ 97 :
<math> \overrightarrow{AB}=B-A </math>
<math> \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\phi(B-A,D-C)= \langle B-A|D-C \rangle=
<math> AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}
AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.
Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement
<math> \overrightarrow{A}=\overrightarrow{0A} </math>
Ligne 132 ⟶ 129 :
| titre = Propriété 12
| contenu =
<math> \forall (A,B,C)\in \left( \mathcal M_{n,m}(\R) \right)^3\qquad\langle A.B|C\rangle = \langle B|^tA.C\rangle </math>
}}
Ligne 139 ⟶ 136 :
En effet :
<math> \langle A.B|C\rangle =
}}
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