Différences entre les versions de « Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices »

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| niveau = 15
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{{Clr}}
 
 
{{définition
 
<math> \begin{align}
\phi :\left(\mathcal M_{n,m}(\R)\right)^2&\longrightarrow\R \\
(M,N)&\longmapsto tr\operatorname{Tr}(^tM.N)
\end{align} </math>
}}
 
<math> \begin{align}
\forall (\alpha,\beta)\in\R^2\qquad\forall (A,B,C)\in \left( \mathcal M_{n,m}(\R) \right)^2\qquad
\phi(\alpha A+\beta B,C)&=tr\operatorname{Tr}\left(^t(\alpha A+\beta B).C \right) \\
&=tr\operatorname{Tr}\left((\alpha^t A+\beta^t B).C \right) \\
&=tr\operatorname{Tr}\left(\alpha^t A.C+\beta^t B.C \right) \\
&=\alpha tr\operatorname{Tr}(^t A.C)+\beta tr\operatorname{Tr}(^tB.C) \\
&=\alpha \phi(A,C)+\beta \phi(B,C)
\end{align} </math>
<math> \begin{align}
\forall (\alpha,\beta)\in\R^2\qquad\forall (A,B,C)\in \left( M_{n,m}(\R) \right)^2\qquad
\phi(C,\alpha A+\beta B)&=tr\operatorname{Tr}\left(^tC.(\alpha A+\beta B) \right) \\
&=tr\operatorname{Tr}\left(\alpha^tC. A+\beta^tC.B \right) \\
&=\alpha tr\operatorname{Tr}(^tC.A)+\beta tr\operatorname{Tr}(^tC.B) \\
&=\alpha \phi(C,A)+\beta \phi(C,B)
\end{align} </math>
\forall u=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad
\forall v=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\qquad
\phi(u,v)&=tr\operatorname{Tr}\left(^t\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\right)
=tr\operatorname{Tr}\left(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\right)\\
&=tr\operatorname{Tr}\left((x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)\right)
=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
\end{align}</math>
<math> \overrightarrow{AB}=B-A </math>
 
<math> \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\phi(B-A,D-C)= \langle B-A|D-C \rangle= tr\operatorname{Tr}\left(^t(B-A)(D-C)\right) </math>
 
<math> AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}.\cdot \overrightarrow{AB}}=\sqrt{\phi(B-A,B-A)}= \sqrt{\langle B-A|B-A \rangle}= \sqrt{tr\operatorname{Tr}\left(^t(B-A)(B-A)\right)} </math>
AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.
 
Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur :
 
<math> \overrightarrow{A}=\overrightarrow{0A} </math>
| titre = Propriété 12
| contenu =
<math> \forall (A,B,C)\in \left( \mathcal M_{n,m}(\R) \right)^3\qquad\langle A.B|C\rangle = \langle B|^tA.C\rangle </math>
}}
 
En effet :
 
<math> \langle A.B|C\rangle =tr\operatorname{Tr}\left(^t(AB)C\right) =tr\operatorname{Tr}\left(^tB^tAC\right) =\langle B|^tA.C\rangle </math>
 
}}
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