« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions
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Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :
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<math>d_n = \begin{cases}
0, & \mbox{si }n\mbox{ est impair} \\
\frac{1}{\binom{2k}{k}} = \frac{1}{\binom{n/2}{n}}, & \mbox{si }n\mbox{ est pair}\quad n=2k.
\end{cases}</math>
On ne peut donc pas appliquer la règle de d'Alembert ! Le rapport <math>\tfrac{d_{n+1}}{d_n}</math> n'est pas défini si <math>n</math> est pair. Pour <math>x</math> un réel fixé et non nul, on étudie la convergence absolue de la série numérique <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>. Posons <math>u_n = \frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math> et étudions la nature de la série à termes positifs <math>\sum_{n \ge 0} |u_n|</math>
Ligne 99 ⟶ 97 :
* <math>\sum_{n \ge 0}(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Les premiers termes de cette série sont : <math>x - \tfrac{5}{2} x^3 + \tfrac{25}{9} x^5 - \cdots</math> Ils s'expriment bien sous la forme <math>\sum_{n \ge 0}e_n x^n</math>, mais
<math>e_n = \begin{cases}
0, & \mbox{si }n\mbox{ est pair} \\
(-1)^k\frac{5^k}{k^3+1}, & \mbox{si }n\mbox{ est impair}\quad n=2k+1.
\end{cases}</math>
Pour <math>x</math> un réel fixé et non nul, on étudie la convergence absolue de la série numérique <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> ou <math>u_n = (-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}.</math>
<math>\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)^3+1}|x|^{2n+3} \times \frac{n^3+1}{5^n}\frac{1}{|x|^{2n+1}} </math>
<math>= 5x^2\frac{n^3+1}{(n+1)^3+1} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 5x^2</math>
D'après le critère de d'Alembert, si <math>5x^2 < 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>x^2 < \tfrac{1}{5}</math>, ce qui équivaut à <math>|x| < \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> converge absolument.
Si <math>5x^2 > 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>|x| > \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> diverge grossièrement. Donc le rayon de convergence de la série est <math>\tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>.
}}
Ligne 105 ⟶ 118 :
* <math>\sum_{n \ge 0}sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
<math>\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|} = \frac{|sin(\pi\sqrt{(n+1)^2+1})|}{|sin(\pi\sqrt{n^2+1})|} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\ ?</math> et
<math>|f_n|^{1/n} = |sin(\pi\sqrt{n^2+1})|^{1/n} =\ ?</math>
Il faut tester une autre approche. On peut majorer par 1 :
<math>|sin(\pi\sqrt{n^2+1})| \le 1</math> donc pour tout <math>z \in \mathbb{C},\ |sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n| \le |z|^n.</math>
* Si <math>|z| < 1,\ \sum_{n \ge 0} |z|^n</math> est convergente, donc <math>\sum_{n \ge 0} |sin(\pi\sqrt{n^2+1})z|^n</math> converge donc si <math>|z| < 1\,</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0} sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math> est absolument convergente.
* Si <math>|z| > 1\,</math>, alors <math>\forall n \in \N : |z|^n > 1</math> alors <math>|sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n| > |sin(\pi\sqrt{n^2+1})|</math>. Or <math>sin(\pi\sqrt{n^2+1})</math> n'a pas de limite quand <math>n</math> tend vers l'infini, donc <math>sin(\pi\sqrt{n^2+1})</math> ne tend pas vers zéro quand <math>n</math> tend vers l'infini. Donc si <math>|z| > 1\,</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math> diverge.
On peut conclure que <math>R = 1</math>.
}}
Ligne 111 ⟶ 139 :
* <math>\sum_{n \ge 0}\left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n z^n</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
<math>= \sum_{n \ge 0} g_n \mbox{ avec } g_n = \left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n</math>
<math>|g_n|^{1/n} = \frac{1}{1 + \sqrt{n}} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 = \lambda.</math>
<math>R = \frac{1}{\lambda} = +\infty.</math>
}}
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