« Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases » : différence entre les versions
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Soit P la matrice de changement de base permettant de passer d’une base (e1, e2, … en) à une base (f1, f2, … fn). Nous savons que, par définition, celle-ci a été obtenue en plaçant en colonne les coordonnées respectives des vecteurs f1, f2, … fn dans la base (e1, e2, … en).
Compte tenu de cette définition, nous obtenons une première formule (démontrée en cours) qui est :
Xc étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes de u dans la base (e1, e2, … en).
Yc étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes de u dans la base (f1, f2, … fn).
Nous insistons sur le fait que pour obtenir une formule, nous avons dû mettre X et Y sous forme de matrices colonnes.
Essayons alors de trouver une formule concernant cette fois les coordonnées covariantes.
Soit x1, x2, … ,xn, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (e1, e2, … en).
Soit y1, y2, … ,yn, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (f1, f2, … fn).
Nous avons par définition :
Si l’on appelle le coefficient de la ligne i et colonne j de la matrice P, on a :
En reportant cette relation dans la relation (2), nous obtenons :
Et compte tenue de la relation (1), on obtient :
Pouvons-nous représenter cette relation sous forme de produit matriciel.
Nous voyons que la seule façon possible est celle-ci:
Nous remarquons que nous avons dû cette fois mettre les coordonnées covariantes sous forme de matrices lignes.
Soit Xc la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (e1, e2, … en).
Soit Yc la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (f1, f2, … fn).
Nous avons alors :
Nous remarquons aussi que, compte tenue de la définition de la matrice P (et si l’on se permet de considérer des matrice de vecteurs), nous pouvons écrire :
Nous voyons que les coordonnées covariantes vérifient la même formule que les vecteurs des bases respectives. Ce qui justifient à posteriori le nom de coordonnées covariantes.
Et nous voyons que les coordonnées contra variantes vérifient une formule opposé par rapport aux vecteurs des bases respectives. Ce qui justifie à posteriori le nom de coordonnées contra variantes.
Nous retiendrons que les coordonnées contra variantes se représentent par des matrice colonnes Xc, Yc et nous avons la formule Xc = P.Yc.
Nous retiendrons que les coordonnées covariantes se représentent par des matrices lignes Xc, Yc et nous avons la formule Yc = Xc.P.
De plus, nous savons que dans une base orthonormée, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contra variantes. Nous avons donc les formules :
(Formules uniquement valables dans les bases orthonormées).
Remarque : Comme dans les bases orthonormées, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contra variantes, il n’y a pas grand inconvénient à représenter les coordonnées d’un vecteur aussi bien par des matrices colonnes que par des matrices lignes. Mais l’on doit bien prendre conscience qu’il n’en est pas de même si la base n’est pas orthonormée compte tenu de la définition de la matrice de passage.
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