« Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases » : différence entre les versions

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Rédaction
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Soit P la matrice de changement de base permettant de passer d’une base (e1e<sub>1</sub>, e2e<sub>2</sub>, … ene<sub>n</sub>) à une base (f1f<sub>1</sub>, f2f<sub>2</sub>, … fnf<sub>n</sub>). Nous savons que, par définition, celle-ci a été obtenue en plaçant en colonne les coordonnées respectives des vecteurs f1f<sub>1</sub>, f2f<sub>2</sub>, … fnf<sub>n</sub> dans la base (e1e<sub>1</sub>, e2e<sub>2</sub>, … ene<sub>n</sub>).
 
Compte tenu de cette définition, nous obtenons une première formule (démontrée en cours) qui est :
 
<math>X^c=PY^c</math>
 
XcX<sup>c</sup> étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes de u dans la base (e1e<sub>1</sub>, e2e<sub>2</sub>, … ene<sub>n</sub>).
 
YcY<sup>c</sup> étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes de u dans la base (f1f<sub>1</sub>, f2f<sub>2</sub>, … fnf<sub>n</sub>).
 
 
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Essayons alors de trouver une formule concernant cette fois les coordonnées covariantes.
 
Soit x1x<sub>1</sub>, x2x<sub>2</sub>, … ,xnx<sub>n</sub>, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (e1e<sub>1</sub>, e2e<sub>2</sub>, … ene<sub>n</sub>).
 
Soit y1y<sub>1</sub>, y2y<sub>2</sub>, … ,yny<sub>n</sub>, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (f1f<sub>1</sub>, f2f<sub>2</sub>, … fnf<sub>n</sub>).
 
Nous avons par définition :
 
<math>\forall k\in\{1,2,\cdots,n\}\qquad x_k=e_k.u\qquad\text{(1)}</math>
 
<math>\forall k\in\{1,2,\cdots,n\}\qquad y_k=f_k.u\qquad\text{(2)}</math>
 
Si l’on appelle le coefficient de la ligne i et colonne j de la matrice P, on a :