« Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases » : différence entre les versions
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Ligne 12 :
Soit P la matrice de changement de base([[w:Matrice de passage]]) permettant de passer d’une base (e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, … e<sub>n</sub>) à une base (f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, … f<sub>n</sub>). Nous savons que, par définition, celle-ci a été obtenue en plaçant en colonne les coordonnées respectives des vecteurs f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, … f<sub>n</sub> dans la base (e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, … e<sub>n</sub>).
Compte tenu de cette définition, nous obtenons une première formule qui est :
Ligne 37 :
<math>\forall k\in\{1,2,\cdots,n\}\qquad y_k=f_k.u\qquad\text{(2)}</math>
Si l’on appelle
<math>\forall k\in\{1,2,\cdots,n\}\qquad f_k=\sum_{i=1}^np_k^i.e_i</math>
En reportant cette relation dans la relation (2), nous obtenons :
<math>\forall k\in\{1,2,\cdots,n\}\qquad y_k=\sum_{i=1}^np_k^i.e_i.u</math>
Et compte tenue de la relation (1), on obtient :
<math>\forall k\in\{1,2,\cdots,n\}\qquad y_k=\sum_{i=1}^np_k^i.x_i</math>
Pouvons-nous représenter cette relation sous forme de produit matriciel.
Ligne 50 ⟶ 53 :
Nous voyons que la seule façon possible est celle-ci:
<math> \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
p_1^1 & p_2^1 & \cdots & p_n^1 \\
p_1^2 & p_2^2 & & p_n^2 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
p_1^n & p_2^n & \cdots & p_n^n \\
\end{pmatrix}
</math>
Nous remarquons que nous avons dû cette fois mettre les coordonnées covariantes sous forme de matrices lignes.
Soit
Soit Yc la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (
Nous avons alors :
<math>Y_c=X_cP</math>
Nous remarquons aussi que, compte tenue de la définition de la matrice P (et si l’on se permet de considérer des matrice de vecteurs), nous pouvons écrire :
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