« Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases » : différence entre les versions
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Ligne 12 :
Soit P la matrice de changement de base([[w:Matrice de passage|matrice de passage]]) permettant de passer d’une base (e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, … e<sub>n</sub>) à une base (f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, … f<sub>n</sub>). Nous savons que, par définition, celle-ci a été obtenue en plaçant en colonne les coordonnées respectives des vecteurs f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, … f<sub>n</sub> dans la base (e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, … e<sub>n</sub>).
Compte tenu de cette définition, nous obtenons une première formule qui est :
Ligne 18 :
<math>X^c=PY^c</math>
X<sup>c</sup> étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes
Y<sup>c</sup> étant la matrice colonne des coordonnées contra variantes
Nous insistons sur le fait que pour obtenir
Essayons alors de trouver une formule concernant cette fois les coordonnées covariantes.
Ligne 29 :
Soit x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, … ,x<sub>n</sub>, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, … e<sub>n</sub>).
Soit y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, … ,y<sub>n</sub>, les coordonnées covariantes
Nous avons par définition :
Ligne 53 :
Nous voyons que la seule façon possible est celle-ci:
<math> \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
p_1^1 & p_2^1 & \cdots & p_n^1 \\
Ligne 60 :
p_1^n & p_2^n & \cdots & p_n^n \\
\end{pmatrix}
</math>
Ligne 75 ⟶ 74 :
Nous remarquons aussi que, compte tenue de la définition de la matrice P (et si l’on se permet de considérer des matrice de vecteurs), nous pouvons écrire :
<math> \begin{pmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
p_1^1 & p_2^1 & \cdots & p_n^1 \\
p_1^2 & p_2^2 & & p_n^2 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
p_1^n & p_2^n & \cdots & p_n^n \\
\end{pmatrix}
</math>
Nous voyons que les coordonnées covariantes vérifient la même formule que les vecteurs des bases respectives. Ce qui justifient à posteriori le nom de coordonnées covariantes.
Ligne 80 ⟶ 87 :
Et nous voyons que les coordonnées contra variantes vérifient une formule opposé par rapport aux vecteurs des bases respectives. Ce qui justifie à posteriori le nom de coordonnées contra variantes.
Nous retiendrons que les coordonnées contra variantes se représentent par des matrice colonnes
Nous retiendrons que les coordonnées covariantes se représentent par des matrices lignes
De plus, nous savons que dans une base orthonormée, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contra variantes. Nous avons donc les formules :▼
▲De plus, nous savons que dans une base orthonormée, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contra variantes. Nous avons donc, dans une base orthonormée, les formules :
<math>X_c=^tX^c\qquad\qquad Y_c=^tY^c</math>
{{remarque
Remarque : Comme dans les bases orthonormées, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contra variantes, il n’y a pas grand inconvénient à représenter les coordonnées d’un vecteur aussi bien par des matrices colonnes que par des matrices lignes. Mais l’on doit bien prendre conscience qu’il n’en est pas de même si la base n’est pas orthonormée compte tenu de la définition de la matrice de passage.▼
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