« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions
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| titre = Applications de l'inégalité de Jensen
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L’inégalité de Jensen est une généralisation de l’inégalité de convexité à plusieurs nombres. Elle permet de démontrer des inégalités portant sur des expressions faisant intervenir plusieurs nombres. Comme, par exemple, la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de plusieurs nombres. La plupart, de ces inégalités, seraient délicates à démontrer autrement.
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Rappelons le théorème démontré plus haut et connue sous le nom d’inégalité de Jensen.
Théorème : soit f une fonction convexe définie sur un intervalle I de . Alors, pour tout
(x1, x2,…,xn)In et pour toute famille telle que 1 + 2 + … + n = 1.
On a : .
Nous avons aussi le corollaire immédiat suivant :
Corollaire : soit f une fonction convexe définie sur un intervalle I de . Alors, pour tout
(x1, x2,…,xn)In , on a : .
Il suffit de poser dans le théorème de Jensen.
Nous allons voir plusieurs applications de l’inégalité de Jensen.
Application 1 : Soit a1, a2,…, an, une famille de nombres.
On a : . Autrement dit la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.
Considérons la fonction f définie par : .
On a alors : . On en déduit que f est convexe.
En appliquant le corollaire, on obtient :
.
Applications 2 : Soit p, q et vérifiant
.
(Inégalité connue sous le nom d’inégalité de Holder)
Appliquons l’inégalité de Jensen avec .
On obtient :
Posons :
et , on obtient :
C’est à dire :
Sommons :
Qui s’écrit :
Qui se simplifie :
. Qui s’écrit : .
Et finalement :
.
Application 3 : Soit a1, a2,…, an, une famille de nombres strictement positifs.
On a : .
Considérons la fonction f définie par : .
On a alors : . Par conséquent f est convexe.
En appliquant le corollaire, on obtient :
.
Posons , on obtient :
Application 4 : .
Considérons la fonction f définie par : .
On a alors : . Par conséquent f est convexe.
En appliquant le corollaire, on obtient :
.
Et en élevant les deux membres à la puissance , on obtient :
.
Remarque : Si l’on pose p = 2 dans la formule précédente, on obtient qui représente la moyenne harmonique des xi. Par conséquent, compte tenu de l’application 1, on peut dire que la moyenne arithmétique est toujours comprise entre la moyenne géométrique et la moyenne harmonique. C’est-à-dire que :
.
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