« Topologie générale/Suites » : différence entre les versions

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La définition que nous venons de voir des espaces topologiques a pour but de permettre de formaliser des notions de "proximité" (voisinages) et donc de limite.
C'est pourquoi on peut définir de nombreuses propriétés sur les suites d'un espace topologique.
== Définition ==
Soit <math>E</math> un ensemble (non vide). Une '''suite''' dans E est une application <math>u : \mathbb N \to E</math>, c'est-à-dire une famille d'éléments de E indexée par <math>\mathbb N</math>. On la note souvent  <math>(u_n)_{n\in \mathbb N}</math> ou même, s'il n'y a pas d'ambiguïté quant aux indices, simplement <math>(u_n)</math>.
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== Limite et adhérence ==
 
Soient <math> (E, \mathcal{T}) </math> un espace topologique et <math>(u_n)</math> une suite d'éléments de <math>E</math>.
 
{{définition
| titre = Limite d'une suite
| contenu = Soit <math>l\in E</math>, on dit que <math>l</math> est limite de la suite <math>(u_n)</math> si :
<math>\forall U \in \mathcal{V}(l), \exists N \in \mathbb{N} \text{ tq } n \geq N \Rightarrow u_n \in U</math>
}}
== Suite de Cauchy ==