« Topologie générale/Suites » : différence entre les versions
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Ligne 23 :
<math>\forall U \in \mathcal{V}(l), \exists N \in \mathbb{N} \text{ tq } n \geq N \Rightarrow u_n \in U</math>
}}
{{définition
| titre = Espace topologique séparé
| contenu = On dit que l'espace topologique <math> (E, \mathcal{T}) </math> est séparé si deux point distincts possèdent deux voisinages disjoints.
C'est à dire si : <math>\forall (a,b)\in E^2 \text{ tq } a\neq b, \exists (U, V) \in \mathcal{V}(a)\times\mathcal{V}(b) \text{ tq } U\cap V = \empty </math>
}}
{{propriété
| titre = Unicité de la limite
| contenu = Si <math> (E, \mathcal{T}) </math> est séparé, toute suite admet au plus une limite
}}
{{démonstration
| contenu = Soient <math>l</math> et <math>l'</math> deux limites de <math>(u_n)</math><br />
Si <math>l</math> et <math>l'</math> étaient différents, on aurait deux voisinages disjoints <math>U</math> et <math>V</math> et donc deux entiers <math>N</math> et <math>N'</math> tels que :<br />
<math>\forall n>N, u_n \in U </math> et <math>\forall n>N', u_n \in V </math><br />
ce qui donnerait <math>\forall n>\max(N, N') , u_n \in U\cap V </math>ce qui est absurde<br />
d'où <math>l=l'</math>
}}
== Suite de Cauchy ==
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