« Topologie générale/Suites » : différence entre les versions
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}}
Cette définition revient à dire qu'il existe une infinité de termes de la suite se trouvant au voisinage de <math>a</math>
{{Définition
| titre = Formulation équivalente
|contenu = Soit <math>a\in E</math>, <math>a</math> est valeur d'adhérence de la suite <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite
}}
{{Propriété
| titre = Propriétés
| contenu =
# Une limite est nécessairement valeur d'adhérence
# Toute valeur d'adhérence d'une sous-suite est valeur d'adhérence de la suite initiale
# L'ensemble des valeurs d'adhérence est un fermé :<br />en notant <math>\forall n \in \mathbb{N}, X_n = \{x_k, k\geq n \} </math>, cet ensemble est en effet égal à <math>\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math>
}}
{{Démonstration
| contenu =
# En effet, pour tout voisinage <math>U</math>de <math>l</math>, il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont éléments de <math>U</math>,<br /> ce qui prouve que <math>l</math> est valeur d'adhérence.
#En effet, si <math>a</math> est valeur d'adhérence d'une suite extraite <math>(u'_{n})</math>, tout voisinage de <math>a</math> contient une infinité de termes de <math>(u'_{n})</math> et donc de <math>(u_{n})</math>, ce qui prouve que <math>a</math> est valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>
#Soit <math>a</math> une valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>, et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, la définition nous assure bien que <math>\forall n\in\mathbb{N} , X_n \cap U \neq \empty</math><br />Donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, a\in \overline{X_n}</math> et <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math><br />Réciproquement soit <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math> et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, X_n\cap U \neq \empty</math> et <math>a</math> est bien valeur d'adhérence.
}}
== Suite de Cauchy ==
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