« Topologie générale/Suites » : différence entre les versions
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#En effet, si <math>a</math> est valeur d'adhérence d'une suite extraite <math>(u'_{n})</math>, tout voisinage de <math>a</math> contient une infinité de termes de <math>(u'_{n})</math> et donc de <math>(u_{n})</math>, ce qui prouve que <math>a</math> est valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>
#Soit <math>a</math> une valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>, et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, la définition nous assure bien que <math>\forall n\in\mathbb{N} , X_n \cap U \neq \empty</math><br />Donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, a\in \overline{X_n}</math> et <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math><br />Réciproquement soit <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math> et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, X_n\cap U \neq \empty</math> et <math>a</math> est bien valeur d'adhérence.
}}
===Caractérisation des ensembles fermés===
{{Propriété
| contenu = Soit <math>A\in\mathcal{P}(E)</math> et soit <math>(u_n)</math> une suite '''convergente''' d'éléments de A, alors <math>\lim_{n\to\infty} u_n \in \overline A</math>
}}
{{Démonstration
| contenu = Posons <math>l = \lim_{n\to\infty} u_n </math> et soit <math>U\in\mathcal{V}(l)</math> alors <math>U\cap A \neq \empty</math>.
En effet, <math>\exists N \geq 0 , n>N \Rightarrow u_n \in U\cap A</math>. On a donc bien <math>l \in \overline A</math>
}}
{{Propriété
| titre = Caractérisation séquentielle des fermés
| contenu = Soit <math>A\in\mathcal{P}(E)</math>, alors :
<math>A</math> est fermé <math>\Leftrightarrow</math> toute suite convergente d'éléments de <math>A</math> converge dans <math>A</math>
}}
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