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« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions

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Les prédicats sont basés sur la notion d'ensemble qui n'est définie qu'au chapitre suivant. Section Prédicats, quantificateurs déplacée en fin de chapitre Notion d'ensemble.
Balise : blanchiment
Ligne 124 :
* <math>\text{non} (P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (P \, \text{et non} \, Q)</math><br />
* <math>(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\text{non}\, Q \Rightarrow \text{non} \,P)</math> (c'est la [[w:Proposition contraposée|contraposition]] ou ''modus tollens''.)
 
== Prédicats, quantificateurs ==
{{Définition
| titre = Définition : prédicat
| contenu =
Soit ''E'' un ensemble. On appelle '''prédicat sur''' '''''E''''' la donnée, pour chaque élément ''x'' de ''E'', d'une assertion ''P''(''x'').}}
 
Exemple :
* Pour tout ''x'' réel, on définit ''P''(''x'') par : <math>x\geq 1</math>. C'est un prédicat sur <math>\R</math>, vrai pour 2 et faux pour 0.
 
=== Quantificateurs existentiels ===
 
* On écrit <math>\exists x\in E / P(x)</math> pour signifier qu'il existe au moins un ''x'' élément de ''E'' tel que ''P''(''x'') soit vrai.
* On écrit <math>\exists ! x\in E / P(x)</math> pour signifier qu'il existe un unique ''x'' élément de ''E'' tel que ''P''(''x'') soit vrai.
 
=== Quantificateur universel ===
* On écrit <math>\forall x\in E, P(x)</math> pour signifier que pour tous les éléments ''x'' de ''E'', ''P''(''x'') est vrai.
 
=== Négations des quantifications ===
On a :
 
* <math>\text{non}(\exists x\in E / P(x)) \Leftrightarrow (\forall x\in E, \text{non}\, P(x))</math>
* <math> \text{non}(\forall x\in E, P(x))\Leftrightarrow (\exists x\in E / \text{non}\, P(x))</math>
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