« Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif » : différence entre les versions

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démonstrations
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|contenu =
Soit <math>\phi : A\longrightarrow B</math> un morphisme entre deux anneaux intègres. Le noyau de <math>\phi</math> est un idéal de <math>A</math>. Plus généralement, toute image réciproque d'un idéal de <math>B</math> par <math>\phi</math> est un idéal de <math>A</math>.}}
 
{{Démonstration
|contenu =
Soit <math>J</math> un idéal de <math>B</math>, et <math>x,y\in \phi^{-1}(J), a\in A</math>. <math>J</math> est non vide donc <math>\phi^{-1}(J)</math> est également non vide. <math>\phi</math> est un morphisme d'anneaux, donc <math>\phi(x-y) = \phi(x) - \phi(y)</math>. <math>J</math> étant un idéal, <math>\phi(x) - \phi(y) \in J</math>, donc <math>x-y\in \phi^{-1}(J)</math>. Également, <math>\phi(ax) = \phi(a)\phi(x)</math>, et <math>J</math> étant un idéal, <math>\phi(a) \phi(x)\in J</math>, donc <math>ax\in\phi^{-1}(J)</math>.}}
 
{{Propriété
|contenu =
Toute intersection (finie ou non) d'idéaux de <math>A</math> est un idéal de <math>A</math>. Tous les <math>J_i</math> contiennent <math>0</math>, donc <math>J</math> contient <math>0</math>, et est donc non vide. Soient <math>x,y\in J, a \in A</math>. Pour tout <math>i</math> de <math>I</math>, <math>x</math> et <math>y</math> sont dans <math>J_i</math>, qui est un idéal, donc <math>x-y\in J_i</math> et <math>ax\in J_i</math>, donc <math>x-y\in J</math> et <math>ax\in J</math>.}}
Toute intersection (finie ou non) d'idéaux de <math>A</math> est un idéal de <math>A</math>.}}
 
{{Démonstration
|contenu =
Soit <math>(J_i)_{i\in I}</math> une famille d'idéaux de <math>A</math> indexée par un ensemble <math>I</math>. Posons <math>J = \bigcap_{i\in I} J_i</math>.}}
 
== Idéal engendré par une partie ==
La propriété précédentes nous permets de considérer la notion d'idéal engendré par une partie :
 
{{Définition
|contenu =
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{{Propriété
|contenu=
Soit <math>a\in A</math>. L'idéal engendré par <math>\{a\}</math>, que l'on note <math>a A</math> ou encore, par abus de notation, <math>(a)</math> est <math>(a) = \{axa.x, x\in A\}</math>.}}
 
{{Démonstration
|contenu =
Notons <math>J = \{ax, x\in A\}</math>, et montrons que c'est le plus petit idéal contenant <math>a</math>, ce qui achèvera la démonstration.
 
<math>J</math> est un idéal car <math>a.0\in J</math>, et pour tout <math>x,y, b\in A</math>, <math>a(x-y) = ax - ay</math> et <math>a(bx) = (ab)x</math>. Il contient <math>a</math> car <math> a.1\in J</math>.
 
Soit <math>I</math> un idéal de <math>A</math> contenant <math>a</math>. <math>I</math> étant un idéal contenant <math>a</math>, pour tout <math>x\in A, ax = xa \in I</math>, c'est-à-dire que <math>J\subset I</math>.}}
 
{{Définition