« Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif » : différence entre les versions
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démonstrations |
Développement du passage sur la divisibilité |
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Ligne 58 :
Soit <math>I</math> un idéal de <math>A</math> contenant <math>a</math>. <math>I</math> étant un idéal contenant <math>a</math>, pour tout <math>x\in A, ax = xa \in I</math>, c'est-à-dire que <math>J\subset I</math>.}}
== Divisibilité dans un anneau intègre ==
{{Définition
|contenu =
Pour <math>a</math> et <math>b</math> dans <math>A</math>, on dit que <math>a</math> divise <math>b</math>, et on note <math>a|b</math> si <math>\exists c\in A, b = ac</math>.}}
{{Définition
Ligne 66 ⟶ 72 :
|contenu=Soit <math>a,b\in A</math>. On a : <math>a|b \Leftrightarrow (b)\subset (a)</math>.}}
Réciproquement, si, pour <math>a</math> et <math>b</math> non nuls, <math>\exists u </math> inversible dans <math>A</math> tel que <math>b = au</math>, on a <math>b = au</math> et <math>a = bu^{-1}</math>, donc <math>a|b</math> et <math>b|a</math> et les idéaux engendrés par <math>a</math> et <math>b</math> respectivement sont égaux.
Ceci est encore vrai pour <math>a</math> ou <math>b</math> nul, on en déduit la propriété suivante :
{{Propriété
|contenu =
Soient <math>a,b\in A</math>. On a équivalence entre :
*<math>(a)=(b)</math>
*<math>a|b</math> et <math>b|a</math>
*<math>\exists u </math> inversible dans <math>A</math> tel que <math>b = au</math>
auquel cas on dit que <math>a</math> et <math>b</math> sont ''associés''.}}
== Somme d'idéaux ==
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