« Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Géométrie » : différence entre les versions

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Robot : Remplacement de texte automatisé (-\{\{[Uu]nité\|([^\}]*)\|mm\}\} +{{Unité|\1|{{abréviation|mm|millimètre}}}})
m (Robot : Remplacement de texte automatisé (-\{\{[Uu]nité\|([^\}]*)\|s\}\} +{{Unité|\1|{{abréviation|s|seconde}}}}))
m (Robot : Remplacement de texte automatisé (-\{\{[Uu]nité\|([^\}]*)\|mm\}\} +{{Unité|\1|{{abréviation|mm|millimètre}}}}))
 
; Donnée
* Diamètre de la roue : {{unitéUnité|800|{{abréviation|mm|millimètre}}}}.
 
; Question
=== Enrouleur de câble ===
 
On désire enrouler un câble de {{unité|200|{{abréviation|m|mètre}}}} sur un tambour de diamètre {{unitéUnité|1500|{{abréviation|mm|millimètre}}}}. Combien faut-il de tour de tambour, en considérant que le diamètre d'enroulement est toujours le même ? Quel angle en radians cela représente-t-il ?
 
{{solution
* un piston entraîne le déplacement linéaire d'une crémaillère ;
* la crémaillère entraîne la rotation du pignon.
Le pignon a un diamètre primitif de {{unitéUnité|25|{{abréviation|mm|millimètre}}}}<ref>le diamètre primitif correspond au point de contact entre les dents du pignon et de la crémaillère, à environ la moitié de la hauteur de la dent ; tout se passe comme si la roue dentée était un galet de ce diamètre, roulant sans glissement</ref>. Quelle doit être l'avance du piston pour que le pignon fasse une rotation de {{unité|30|°}} ?
 
{{clr}}
: <math>\theta = \frac{2\pi}{360}\times 30 = 0,52\ \mathrm{rad}</math>.
La longueur vaut donc
: L = ''r'' θ = 12,5×0,52 = {{unitéUnité|6.5|{{abréviation|mm|millimètre}}}}.
On peut aussi s'en sortir sans la formule, en appliquant la loi de proportionnalité : le périmètre du cercle primitif vaut
: ''p'' = 2π''r'' = 2π×12,5 = {{unitéUnité|78.5|{{abréviation|mm|millimètre}}}}
puis
: {{unité|360|°}} ↔ ''p''
* de l'angle θ que fait l'axe du plateau cyclique avec l'axe du barillet ;
* de la distance ''r'' de l'axe de l'alésage avec l'axe du barillet.
Si la distance ''r'' vaut {{unitéUnité|100|{{abréviation|mm|millimètre}}}} et que l'angle θ est de {{unité|30|°}}, calculer l'amplitude L ?
 
{{clr}}
: <math>\mathrm{TOA}\ : \ \tan \theta = \frac{\mathrm{oppos\acute{e}}}{\mathrm{adjacent}} = \frac{\mathrm{L}}{2r}</math>
donc
: L = 2''r'' tan θ = 2×100×tan(30°) = {{unitéUnité|115.5|{{abréviation|mm|millimètre}}}}
}}
 
{{solution
| contenu = Pour le tronc de cône, on a
: AC = (130 - 75)/2 = {{unitéUnité|27.5|{{abréviation|mm|millimètre}}}}.
Comme on a un angle à {{unité|45|°}}, il s'agit d'un triangle rectangle isocèle, donc
: ''a'' = BC = AC = {{unitéUnité|27.5|{{abréviation|mm|millimètre}}}}.
Pour le cône d'extrémité, on a
: DF = 75/2 = {{unitéUnité|37.5|{{abréviation|mm|millimètre}}}}.
On peut appliquer la formule de la tangente :
: TOA : <math>\tan(\theta) = \frac{\mathrm{oppos\acute{e}}}{\mathrm{adjacent}} = \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FE}}</math>
! scope = "col" | Nom || Direction || Sens || Norme
|-
| <math>\vec v_{2/1}</math> || ∠ 54° || ↗ || ({{unitéUnité|9|{{abréviation|mm|millimètre}}}})
|-
| <math>\vec v_{1/0}</math> || — || → || ({{unitéUnité|21|{{abréviation|mm|millimètre}}}})
|-
| <math>\vec v_{2/0}</math> || ∠ 15° || ↗ || ({{unitéUnité|27|{{abréviation|mm|millimètre}}}})
|}
 
On admet une erreur de ±1° sur la lecture de la direction du vecteur <math>\vec v_{2/1}</math> dans le cas 2, et de ±2° pour le vecteur <math>\vec v_{2/0}</math> (erreur de construction + lecture) dans tous les cas.
 
On admet une erreur de ±{{unitéUnité|2|{{abréviation|mm|millimètre}}}} pour la longueur du vecteur <math>\vec v_{2/0}</math> (erreur de tracé + lecture), donc une erreur de ±{{unité|4|km/h}} pour le résultat.
 
{{BDfin}}
[[Fichier:Poulie tyrolienne forces cor.svg|thumb|Construction de la résultante]]
 
Les vecteurs <math>\vec \mathrm{F}_1</math> et <math>\vec \mathrm{F}_2</math> sont représentés par une flèche de {{unitéUnité|18|{{abréviation|mm|millimètre}}}} de long :
: {{unitéUnité|18|{{abréviation|mm|millimètre}}}} → {{unité|900|N}}
: {{unitéUnité|1|{{abréviation|mm|millimètre}}}} → {{unité|50|N}}
(règle de proportionnalité/produit en croix). La force résultante est représentée par une flèche de {{unitéUnité|17|{{abréviation|mm|millimètre}}}} de long, soit
: <math>\| \vec \mathrm{R} \| = 17 \times 50 = 850\ \mathrm{N}</math>.
 
=== Pompe à pistons axiaux ===
 
Reprenons l'exemple de la pompe à pistons axiaux (voir [[#Pompe à pistons axiaux|ci-dessus]]). Cette pompe a trois pistons de diamètre {{unitéUnité|20|{{abréviation|mm|millimètre}}}}. La cylindrée est la quantité de liquide pouvant être pompée lorsque le système effectue un tour complet.
 
# Quel est le volume balayé par un piston pendant un tour ?
{{solution
| contenu =
: 1 – Le volume balayé est un cylindre de diamètre {{unitéUnité|20|{{abréviation|mm|millimètre}}}} = {{unité|2|{{abréviation|cm|centimètre}}}} et de hauteur {{unitéUnité|115.5|{{abréviation|mm|millimètre}}}} = {{unité|11.55|{{abréviation|cm|centimètre}}}}. On a donc
:: S = πR{{exp|2}} = π×2{{exp|2}} = {{unité|12.56|cm|2}}
: soit
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