« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

{{Exercice

| idfaculté = mathématiques

| numéro = 1

}}

 

Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_1(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_1(v_1)+u_1(v_2)</math>

 

| contenu =

Donc ''u₁'' est une application linéaire.

Or, si u₂ était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_2(0,2,0)=2\,u_2(0,1,0)\,</math>

 

| contenu =

''u₂'' n'est pas une application linéaire.

Or, si u₃ était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_3(2,0,2)=2\,u_3(1,0,1)\,</math>

 

| contenu =

''u₃'' n'est pas une application linéaire.

Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_4(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)</math>

 

| contenu =

''u₄'' est une application linéaire.

Donc tout vecteur <math>v\begin{array}{|l}x\\y\end{array} \in E</math> admet un unique antécédent par l'application ''u'', donc ''u'' est bijective.

 

| contenu =

Finalement, u est un automorphisme de <math>\R^2</math> et sa réciproque est l'application

Donc ''l'' est une application linéaire de E sur <math>\R</math>. De plus, E est un <math>\R</math>-espace vectoriel et l est bien à valeurs dans <math>\R</math>.

 

| contenu =

'''''l'' est une forme linéaire sur E'''.

}}

}}