« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de <math>\omega</math>ω est nul, ou encore, que <math>\omega</math>ω réalise un isomorphisme linéaire <math>V\rightarrow V^*</math>.

Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique <math>\omega</math>ω. Comme <math>\omega</math>ω est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base <math>\scriptstyle (X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots, Y_k)</math> avec 2k la dimension de ''V''. On en déduit que :

Si ''v'' est muni d'une forme symplectique <math>\omega</math>ω, une structure complexe ''J'' est dite <math>\omega</math>ω-compatible lorsque :

Pour tout espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> il existe une structure presque complexe <math>\omega</math>ω-compatible.

De plus, l'nsemble ''I''(''V'') des structures complexes <math>\omega</math>ω-compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes <math>GL(V)</math> et <math>Sp(V,\omega)</math> agissent transitivement sur ''I''(''V'') par conjugaison.

:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math>ω compatible.

:Par construction, les endomorphismes ''J'' ainsi obtenus sont exactement toutes les structures complexes <math>\omega</math>ω-compatibles, et dépendent continument du produit euclidien ''g''. De fait, l'espace ''I''(''V'') est l'image continue de l'espace des produits euclidiens sur ''V''. De fait, il est connexe.

Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors <math>\omega</math>ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.