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« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions

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Ligne 108 :
Posons :
 
<math> x_1=\frac{a_i^p}{\sum_{i=10}^n a_i^p}\qquad\qquad x_2=\frac{b_i^pq}{\sum_{i=10}^n b_i^pq}</math>
 
On obtient :
 
<math> \left( \frac{a_i^p}{\sum_{i=10}^n a_i^p} \right)^{\frac 1p}\left( \frac{b_i^pq}{\sum_{i=10}^n b_i^pq} \right)^{\frac 1q} \leqslant \frac {a_i^p}{p\sum_{i=10}^n a_i^p} + \frac {b_i^pq}{q\sum_{i=10}^n b_i^pq} </math>
 
C’est-à-dire :
 
<math> \frac{a_i.b_i}{\left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p}\left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q}} \leqslant \frac {a_i^p}{p\sum_{i=0}^n a_i^p} + \frac {b_i^q}{q\sum_{i=0}^n b_i^q} </math>
 
Sommons :
 
<math> \sum_{i=0}^n \frac{a_i.b_i}{\left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p}\left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q}} \leqslant \sum_{i=0}^n \frac {a_i^p}{p\sum_{i=0}^n a_i^p} + \frac {b_i^q}{q\sum_{i=0}^n b_i^q} </math>
 
Qui s’écrit :
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