« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions
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Ligne 94 :
Considérons la fonction f définie par :
<math> \forall x \in \R \qquad f(x)=x^p </math>
On a alors : . Par conséquent f est convexe.▼
On a alors :
<math> f''(x)=p(p-1)x^{p-2} </math>
En appliquant le corollaire, on obtient :
<math> \left(\sum_{k=1}^n \frac{x_k}n \right)^p\leqslant \sum_{k=1}^n \frac{x_k^p}n </math>
Et en élevant les deux membres à la puissance , on obtient :▼
▲Et en élevant les deux membres à la puissance 1/p, on obtient :
<math> \sum_{k=1}^n \frac{x_k}n \leqslant \left(\frac 1n \sum_{k=1}^n x_k^p \right)^{\frac 1p} </math>
{{remarque
| contenu =
Si l’on pose p = 2 dans la formule précédente, on obtient
<math> \sum_{k=1}^n \frac{x_k}n \leqslant \sqrt{\frac 1n \sum_{k=1}^n x_k^2} </math>
<math> \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^\frac 1n \leqslant \frac{\sum_{k=1}^n x_k}n \leqslant \sqrt{\frac 1n \sum_{k=1}^n x_k^2} </math>
▲Remarque : Si l’on pose p = 2 dans la formule précédente, on obtient qui représente la moyenne harmonique des xi. Par conséquent, compte tenu de l’application 1, on peut dire que la moyenne arithmétique est toujours comprise entre la moyenne géométrique et la moyenne harmonique. C’est-à-dire que :
}}
== Application 3 ==
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