« Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation » : différence entre les versions
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résolution exercice balistique |
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Ligne 131 :
Les lois de la physique donnent en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :
:<math>y=\tan(\alpha)x-\frac{x^2}{5 (\cos
'''1.''' Calculer l'abscisse <math>c\,</math> du point de chute du projectile en fonction de <math>\alpha</math>.
Ligne 137 :
'''2.''' Calculer la dérivée <math>c'(\alpha)\,</math>
'''3.'''
▲'''5.''' Conclure.
'''1.''' Le projectile touche le sol au point de coordonnées (x;0), il faut résoudre l'équation <math> \tan(\alpha)x-\frac{x^2}{5 (\cos \alpha)^2} = 0 </math>.
On obtient les solutions <math> x_0 = 0 </math> et <math> x_1 = 5 (\cos \alpha)^2 \tan \alpha </math>.
▲{{Solution}}
Donc <math> c = 5 (\cos \alpha)^2 \tan \alpha </math>.
Dans la suite du problème, on considérera <math>\alpha \in [0, \frac{ \pi}{2} [ </math>.
'''2.''' <math>c'(\alpha)\ = 5 \times 2 ( - \sin \alpha) \ cos \alpha \tan \alpha + 5 ( \cos \alpha )^2 \times \frac{1}{ ( \cos \alpha )^2}</math>
<math> = - 10 ( \sin \alpha )^2 + 5 </math>.
'''3.''' On résout <math> c'( \alpha ) = 0 </math>, on obtient <math> ( \sin \alpha )^2 = \frac {1}{2} </math> donc <math> \alpha = \frac{ \pi }{4}</math>.
[[File:Tableau variations balistique.png|thumb|left|600px]]
'''4.''' Donc le projectile touchera le sol le plus loin pour <math> \alpha = \frac{ \pi }{4}</math> donc a une distance de 2.5 mètres de son origine.
}}
== Les anneaux ==
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