« Introduction à la thermodynamique/Paramètres, variables » : différence entre les versions

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On supposeconsidère disposer d'un '''<tt>système à l'équilibre thermodynamique</tt>''' pour définir toutes les notions suivantes.
 
== VariableIntensivité d'étatet extensivité ==
 
Les variables d'étatthermodynamiques peuvent être de deux sortes : '''extensives''' etou '''intensives'''.
=== Définition ===
 
{{Définition
| contenu =
Une '''variable d'état''' est une variable '''mesurableintensive''' quiest '''définitindépendante l'étatde dula système''' et qui ne '''dépend quequantité de l'état macroscopiquematière''' de cedu système.<br />
Une variable d'état '''extensive''' est une '''variable proportionnelle à la quantité de matière''' du système.}}
}}
 
Si on considère un système A et que l'on double ce système pour obtenir un nouveau système Σ , alors
 
:::<math>\Sigma=A \cup A \!</math>
Plus::::: concrètement, si <math>S=A \cup B \!</math> et- si ''p'' est un paramètre intensif de S<math>\Sigma</math>, alors <math>p(S\Sigma)=p(A)=p(B) \!</math>.
::::: - si ''X'' est un paramètre extensif de <math>\Sigma</math>, alors <math>X(\Sigma)=2\cdot X(A) \!</math>
 
{{Exemple
| contenu =
:La pressionmasse ''p''volumique, lela volume ''V''pression, lela nombre de moles ''n'' ouconcentration, la température ''T'' sont des variables d'étatintensives.}}
:Le volume, la masse, le nombre de moles sont des variables extensives.}}
 
Si je mélange 1 litre d'eau à 40 °C avec 1 litre d'eau à 40 °C, j'obtiens 2 litres d'eau à 40 °C.
 
== FonctionVariable d'état ==
 
=== Équation d'état ===
 
{{Définition
| contenu = Une '''variable d'état''' est une variable thermodynamique '''mesurable''' qui '''définit l'état du système''' et qui ne '''dépend que de l'état macroscopique''' de ce système.}}
| contenu =
Une '''équation d'état''' est une '''équation qui relie entres elles plusieurs variables d'état'''.
}}
 
{{Exemple
| contenu =
La pression ''P'', le volume ''V'', le nombre de moles ''N'' ou la température ''T'' sont des variables d'état du système.}}
L''''équation d'état du gaz parfait''' est ''pV = nRT'' (loi de Boyle-Mariotte).}}
 
== Fonction d'état ==
 
== Équation fondamentale ==
{{Définition
| contenu =
Une '''fonction d'état''' est une '''fonction dont les paramètres sont des variables d'état'''. La valeur d'une fonction d'état ne dépend donc que de l'état macroscopique du système.
}}
 
Si on considère un système constitué par un corps pur où les modes d'énergie qui interviennent sont thermique, mécanique et chimique, alors les variables extensives concernées sont l'entropie S, le volume V et le nombre de moles N.
{{Exemple
L'énergie interne U dépend alors de ces 3 variables extensives soit '''U = U(S,V,N)'''. On a ici une '''équation fondamentale'''.
| contenu =
Le gaz parfait dispose de la fonction d'état '''''U''''', énergie interne, valant :
 
D'un point de vue mathématique, les paramètres intensifs sont obtenus par dérivation :
<math>U(V,T)=\frac32nRT</math> (première loi de Joule).}}
 
:: <math>T = \left ( \frac{\partial U}{\partial S} \right )_{V,N} \!</math>
{{Propriété
| contenu =
La somme algébrique des variations d'une fonction d'état au cours d'un cycle est nulle, puisqu'à la fin du cycle, elle reprend sa valeur initiale.}}
 
:: <math>P = - \left ( \frac{\partial U}{\partial V} \right )_{S,N} \!</math>
== Intensivité et extensivité ==
 
Le fait de dériver conduit à une '''perte d'information'''. Il y a donc moins d'information dans un paramètre intensif que dans un paramètre extensif. L'équation fondamentale U = U(S,V,N) permet donc de décrire toutes les propriétés du système. En revanche, si on introduit un paramètre intensif (par exemple par un '''simple changement de variable''' de S par T) l'équation obtenue U = U(T,V,N) ne peut plus décrire tout le système et peut seulement décrire une partie de la thermodynamique du système. On dit alors que '''U = U(T,V,N) est une équation d'état'''.
Les variables d'état peuvent être de deux sortes : '''extensives''' et '''intensives'''.
 
'''remarque :''' Il existe en mathématique une façon d'introduire des paramètres intensifs dans une équation fondamentale sans perte d'information. On utilise alors les '''transformés de Legendre'''. On obtient ainsi des '''Potentiels thermodynamiques''' H(S,V,N), F(T,V,N), G(T,V,N), etc ... qui sont des équations fondamentales.
=== Variables intensives ===
 
=== Équation d'état ===
 
{{Définition
| contenu =
Une '''équation d'état''' est une équation où l'on a introduit des variables intensives en perdant de l''équationinformation. quiElle relie entres elles plusieurs variables d'état'''.}}
Une variable d'état '''intensive''' est '''indépendante de la quantité de matière''' du système.
 
Plus concrètement, si <math>S=A \cup B \!</math> et si ''p'' est un paramètre intensif de S, alors <math>p(S)=p(A)=p(B) \!</math>.
}}
 
{{Exemple
| contenu =
* Le gaz parfait monoatomique est représenté par l'équation d'état
La masse volumique, la pression, la force, la concentration, la température sont des variables intensives.}}
 
::<math>U(T,V,TN)=\frac32nRTfrac32NRT</math> (première loi de Joule).}}
=== Variables extensives ===
 
où U est l'énergie interne, N le nombre de mole, T la température et R la constante des gaz parfaits.
 
L''''* Une autre équation d'état du gaz parfait''' est ''pV = nRT'' (loi de Boyle-Mariotte).}}
 
::<math>PV = NRT</math> (loi de Boyle-Mariotte).}}
 
== Fonction d'état ==
 
{{Définition
| contenu =
Une '''fonction d'état''' est une '''fonction dont lesla paramètresvaleur sontne desdépend variablesque dde l'état''' macroscopique du système. La valeurvariation d'une fonction d'état ne dépend donc quepas dedu l'étatchemin macroscopique du systèmesuivi.}}
Une variable d'état '''extensive''' est une '''variable proportionnelle à la quantité de matière''' du système.
 
Plus concrètement, si <math>S=A \cup B</math> et <math>A \cap B = \emptyset</math>, et si ''p'' est un paramètre extensif de S, alors <math>p(S)=p(A)+p(B) \!</math>.
}}
 
;Intérêt de la propriété des fonctions d'état en thermodynamique
{{Exemple
 
Les transformations réelles sont irréversibles et leur déroulement dépend de la façon de procéder. Elles ne sont donc pas modélisables mathématiquement et le calcul des grandeurs thermodynamiques qui leur sont associées, est impossible. Néanmoins, si cette grandeur est une '''fonction d'état''', sa variation ne dépend que de l'état final et de l'état initial d'équilibre. Pour calculer cette variation il suffit alors d'imaginer une transformation [[réversible]], partant du même état initial pour aboutir au même état final que pour la transformation réelle. Cette transformation réversible est caractérisée par une succession d'états d'équilibres. Elle est modélisable mathématiquement et sa variation est donc calculable.
 
'''Cette variation est identique à celle observée pour la transformation irréversible et le problème est résolu'''.
 
En outre si la fonction d'état est fonction de plusieurs variables, on pourra décomposer la transformation en autant d'étapes intermédiaires réversibles qu'il y a de variables; chaque étape étant caractérisée par la variation d'une seule variable indépendante. Cela simplifie grandement les calculs.
 
 
{{Propriété
| contenu =
La somme algébrique des variations d'une fonction d'état au cours d'un cycle est nulle, puisqu'à la fin du cycle, elle reprend sa valeur initiale.}}
Le volume, la masse, le nombre de moles sont des variables extensives.}}
 
 
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