« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions
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{{Exercice
| idfaculté = mathématiques
| numéro =
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| suivant = [[../Fraction rationnelle/]]
| niveau = 15
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Montrer, en exprimant <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1}</math> en fonction de <math>H_{2n}\,</math> et <math>\tfrac{1}{2}H_n</math>, que <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k+1)} = 2(1-\ln(2))</math>
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
Explicitons les premiers et derniers termes de <math>H_{2n}\,</math> et <math>\tfrac{1}{2}H_n</math> :
<math>H_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2
<math></math>
<math>\begin{align}
\tfrac{1}{2}H_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} & = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2} \times \frac{1}{n-1} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{n}\\
& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n-2} + \frac{1}{2n}\\
\end{align}</math>
De la même façon :
<math>
Et :
<math>H_{2n} - \frac{1}{2}H_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1}</math>
Il faut donc faire attention aux cas limites, d'où :
<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1} = H_{2n} - \frac{1}{2}H_n - 1 + \frac{1}{2n+1}</math>
Finalement :
<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k+1)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(2k+1)}</math>
Décomposition de l'expression ci-dessus en une fraction rationnelle :
<math>\frac{1}{k(2k+1)}</math> est la valeur au point x = k de la fonction rationnelle <math>f(x) = \frac{1}{x(2x+1)}</math>
<math>f(x) = \
On factorise q(x) en un produit de polynômes du premier degré ou du second degré sans racine réelle.
Un facteur de la forme <math>(x - \alpha)^n</math> dans la factorisation de q(x) correspond dans la décomposition en éléments simples :
<math>\frac{A_1}{x-\alpha} + \frac{A_2}{(x-\alpha)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x-\alpha)^n}</math>
À chaque facteur de la forme <math>(x^2 + \beta x + \gamma)^m</math> dans la factorisation de q(x) correspond dans la décomposition en éléments simples :
<math>\frac{B_1 x + C_1}{x^2+\beta x + \gamma} + \frac{B_2}{(x^2+\beta x + \gamma)^2} + \cdots + \frac{B_m}{(x^2+\beta x + \gamma)^m}</math>
Ici :
<math>\
Pour trouver a, il suffit donc de tout multiplier par x, ce qui donne :
<math>
Puis en posant <math>x = 0</math>, cela permet d'isoler a, et on trouve immédiatement :
<math>\
Pour trouver b, on emploie exactement la même méthode : on multiplie tout par <math>(2x+1),\ b = (-2)</math>
Donc <math>\frac{1}{x(2x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+1}</math>
<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k+1)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(2k+1)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} + \frac{(-2)}{2k+1} \right)</math>
Or <math>
<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1} = H_{2n} - \frac{1}{2}H_n - 1 + \frac{1}{2n+1}</math>, d'où :
<math>
Et d'après l'exercice précédent, <math>
<math>
En utilisant les propriétés sur le logarithme, on transforme <math>\ln(n)-\ln(2n)\,</math> en <math>\ln(\tfrac{1}{2}) = \ln((2)^{-1}) = -\ln(2)</math>
Donc, quand n tend vers l'infini, il reste bien au final :
<math>2(1-\ln(2))\,</math>}}
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