« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions
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{{Démonstration
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Soit <math>I\ </math> un idéal de <math>\mathbb K[X]\,</math>.
Notons <math> n=min \{ deg(P) | P \in I, P \neq 0 \} </math>,
(Ce minimum existe car l'ensemble <math> \{ deg(P) | P \in I, P \neq 0 \} </math> est une partie de <math> \mathbb N\ </math> minorée par 0).
Enfin notons <math> I_{min} </math>, un polynôme unitaire appartenant à <math>I</math> tel que <math> deg(I) = n </math>.
On a de manière évidente, par définition d'un idéal et comme <math> I_{min} \in I </math>, <math> (I_{min}) \subset I</math>.
Réciproquement, soit <math> Q \in I </math>, l'existence de la division euclidienne de <math>Q </math> par <math> I_{min} </math>, entraîne celle d'un polynôme <math>R= Q- I_{min}X, X \in \mathbb K[X]\ </math> avec <math>deg(R) < n </math>.
Ce polynôme vérifie <math>R \in I</math>, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par définition de n, la condition <math> deg(R) < n </math> implique <math>R=0 </math> et <math> deg(R) = -\infty </math>.
Ainsi:
<math>Q \in (I_{min}) </math>.
D'où l'existence d'un tel polynôme.
S'il y'avait deux polynômes vérifiant le résultat alors ces derniers sont forcément associés. Les polynômes étant choisis unitaires, ils sont donc égaux. D'où l'unicité.
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