« Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel » : différence entre les versions

 

Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent :

 

On effectue la manipulation standard pour éliminer <math>\vec B_t</math> des expressions :

\overrightarrow{\rm rot}(\overrightarrow{\rm rot}(\vec E_t)) &= \vec\nabla({\rm div}(\vec E_t))-\vec\Delta\vec E_t = -\vec\Delta\vec E_t\\

&=\overrightarrow{\rm rot}\left(-\frac{\partial \vec B_t}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\rm rot}(\vec B_t)\right) = -\mu_0\frac{\partial\vec i}{\partial t}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2 \vec E_t}{\partial t^2}

 

<math>\vec E_t</math> est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule :

<math>\begin{align}

\vec B_t &= \frac{\vec{k'}\wedge\vec E_t}\omega\\

 

De plus, l'hypothèse <math>\vec j_S\approx 0</math> implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire

<math>\begin{align}

\vec k\wedge(\vec E_i-\vec E_r)=\vec k'\wedge \vec E_t

 

On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface :

<math>\begin{align}

 

 

D'où :

<math>\begin{align}

\langle\vec \Pi_i \rangle &= \frac{\Re(\vec E_i\wedge \vec B_i^*)}{2\mu_0}\\

;Question 9

La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal :

<math>\begin{align}

\langle\mathcal P_S\rangle &= T\,||\langle\vec\Pi_i\rangle||\\