« Combinatoire/Factorielles » : différence entre les versions

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Difficile de faire quelque chose de joli en mélengeant le Latex et le texte :-/
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Seront présentés ici des rappels concernant la théorie des ensembles (en particulier sur la notion de cardinal pour les ensembles finis) et une présentation des factorielles.
 
== Les factorielles ==
 
Dans ce cours nous aurons souvent besoin de calculer des produits d'entiers décroissants, comme par exemple <math>3*2*1</math> ou bien encore <math>14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1</math>.
 
Un tel produit est appelé une '''factorielle''', et est usuellement noté par un point d'exclamation. On a par exemple<math>5! = 5*4*3*2*1</math>.
 
{{Cadre définition|titre=Définition de la factorielle|contenu=Soit n un nombre entier naturel. On va définir sa factorielle par récurrence. <br />Si n = 0, alors on définit <br /><math>0! = 1.</math>;
 
Autrement, <br /><math>n!=(n-1)!*n.</math>
|cbord=blue|cfondtitre=#CCEEFF|cfondtexte=#EEF0FF}}
 
On vérifie que cette définition correspond bien à l'idée intuitive que l'on en avait donné au-dessus. Ainsi, par exemple,
 
<math>5! = 4!*5 </math> (par définition de 5!)<br />
<math>5! = (3!*4)*5 </math> (par définition de 4!)<br />
<math>5! = (2!*3)*4*5 </math> (par définition de 3!)<br />
<math>5! = (1!*2)*3*4*5 </math> (par définition de 2!)<br />
<math>5! = (0!*1)*2*3*4*5 </math> (par définition de 1!)<br />
<math>5! = 1*1*2*3*4*5 = 5*4*3*2*1 </math> (par définition de 0!)<br />
 
On obtient donc la bonne égalité.