« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

(mise à jour)
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe ω compatible.
 
:Par construction, les endomorphismes ''J'' ainsi obtenus sont exactement toutes les structures complexes ω-compatibles, et dépendent continumentcontinûment du produit euclidien ''g''. De fait, l'espace ''I''(''V'') est l'image continue de l'espace des produits euclidiens sur ''V''. De fait, il est connexe.
* ''Action par conjugaison :''
:A compléter ...
{{Exemple|titre=Exemple 4 bis
| contenu =
La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénéréesdégénérée, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
}}
 
* '''isotropique''' lorsque ''W'' est contenu dans son orthogonal ;
* '''lagrangien''' lorsque ''W'' est égal à son orthogonal ;
* '''coistotropiquecoisotropique''' lorsque ''W'' contient son orthogonal.
 
En particulier, ''W'' est '''lagrangien''' si et seulement s'il est '''isotropique et coisotropique.'''
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