« Combinatoire/Factorielles » : différence entre les versions
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{{Chapitre
| idfaculté = mathématiques
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Dans ce cours nous aurons souvent besoin de calculer des produits d'entiers décroissants, comme par exemple <math>\scriptstyle{3*2*1}</math> ou bien encore <math>\scriptstyle{14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}</math>.
Un tel produit est appelé une '''factorielle''', et est usuellement noté par un point d'exclamation. On a par exemple <math>\scriptstyle{5! = 5*4*3*2*1}</math>.
{{Cadre définition|titre=Définition de la factorielle|contenu=Soit n un nombre entier naturel. On va définir sa factorielle par récurrence. <br />Si n = 0, alors on définit <br /><math>0! = 1</math>;
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| style="text-align: center; background-color:#7FFF00; width:80px;min-height:80px;" |[[File:Question mark white icon.svg|40px]]
|valign="top" style="padding-left:20px"| '''Question'''
Je comprends ce que signifie la factorielle pour un nombre entier positif. En revanche, pourquoi avoir défini <math>\scriptstyle{0! = 1}</math> ?
|}
<br /><br /><br /><br /><br />
C'est vrai qu'à priori c'est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des "n premiers entiers positifs", alors <math>\scriptstyle{0!}</math> n'a simplement aucun sens.▼
▲C'est vrai qu'à priori c'est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des "n premiers entiers positifs", alors <math>\scriptstyle{0!}</math>, le "produit des 0 premiers entiers positifs", n'a simplement aucun sens.
*Si on avait choisi <math>\scriptstyle{0! = 0}</math> ou bien une toute autre valeur, la définition au-dessus n'aurait pas pu marcher. On aurait eu par exemple <math>\scriptstyle{1! = 0!*0 = 0}</math>. Si on veut donner une valeur à <math>\scriptstyle{0!}</math>, la seule possible est 1.▼
En fait, la valeur donnée à la factorielle de 0 est purement conventionnelle. Cette convention a été choisie pour deux raisons:
*On aurait pu décider de ne pas donner de sens à <math>\scriptstyle{0!}</math> tout comme on ne donne pas de sens à <math>\scriptstyle{\frac{1}{0}}</math>. C'est une position qui aurait été défendable. Seulement, cela aurait empêché la formulation générale de certaines formules qui seront présentées plus loin dans le cours et nous obligerait à formuler des "conditions d'existence" avant chaque formule utilisant la factorielle. On a donc décider de lui donner la valeur de 1 par pure raison de convenance.▼
▲*On aurait pu décider de ne pas donner de sens à <math>\scriptstyle{0!}</math> tout comme on ne donne pas de sens à <math>\scriptstyle{\frac{1}{0}}</math>. C'est une position qui aurait été défendable. Seulement, cela aurait empêché la formulation générale de certaines formules qui seront présentées plus loin dans le cours et nous obligerait à formuler des "conditions d'existence" avant chaque formule utilisant la factorielle.
▲*Si on avait choisi <math>\scriptstyle{0! = 0}</math> ou bien une toute autre valeur, la définition au-dessus n'aurait pas pu marcher. On aurait eu par exemple <math>\scriptstyle{1! = 0!*0 = 0}</math>. Si on veut donner une valeur à <math>\scriptstyle{0!}</math>, la seule possible est 1.
C'est un peu comme quand on a défini '''n<sup>0</sup> = 1'''. Mettre n'importe quel nombre à la puissance 0 n'a à priori pas de sens.
== Calcul avec les factorielles ==
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Dans certains cas, il est possible de simplifier les expressions mathématiques utilisant les factorielles, de manière à pouvoir les calculer plus facilement à la main ou même à la calculette.
Par exemple, <math>\scriptstyle\frac{200!}{199!}</math> n'est pas calculable avec certaines calculatrices, bien que ce ne soit pas un grand nombre. En effet la calculatrice va échouer à calculer le numérateur et le dénominateur (qui sont tous les deux gigantesques) et ne va donc pas pouvoir effectuer la division.
Un calcul simple peut cependant nous donner la réponse:
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