« Combinatoire/Factorielles » : différence entre les versions

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== Définition ==
 
Dans ce cours nous aurons souvent besoin de calculer des produits d'entiers décroissants, comme par exemple <math>\scriptstyle{3*2*1}</math>3✕2✕1 ou bien encore <math>\scriptstyle{14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}</math>14✕13✕12✕11✕10✕9✕8✕7✕6✕5✕4✕3✕2✕1.
 
Un tel produit est appelé une '''factorielle''', et est usuellement noté par un point d'exclamation. On a par exemple <math>\scriptstyle{5! = 5*4*3*2*1}</math>5✕4✕3✕2✕1.
 
{{Cadre définition|titre=Définition de la factorielle|contenu=Soit n un nombre entier naturel. On va définir sa factorielle par récurrence. <br />Si n = 0, alors on définit <br /><math>0! = 1</math>;
 
Autrement, <br /><math>n!=(n-1)!*\times n</math>
|cbord=blue|cfondtitre=#CCEEFF|cfondtexte=#EEF0FF}}
 
On vérifie que cette définition correspond bien à l'idée intuitive que l'on en avait donné au-dessus. Ainsi, par exemple,
 
<math>5! = 4!*5\times5 </math> (par définition de 5!)<br />
<math>5! = (3!*4\times4)*5\times5 </math> (par définition de 4!)<br />
<math>5! = (2!*3\times3)*4*5\times4\times5 </math> (par définition de 3!)<br />
<math>5! = (1!*2\times2)*3*4*5\times3\times4\times5 </math> (par définition de 2!)<br />
<math>5! = (0!*1\times1)*2*3*4*5\times2\times3\times4\times5 </math> (par définition de 1!)<br />
<math>5! = 1*1*2*3*4*5\times1\times2\times3\times4\times5 = 5*4*3*2*1\times4\times3\times2\times1 </math> (par définition de 0!)<br />
 
On obtient donc la bonne égalité.
 
{{clr}}Encart
| largeur = 80px
{| style="float: left; border:3px solid #7FFF00; width:100%"
| couleur = 7fff00
| style="text-align: center; background-color:#7FFF00; width:80px;min-height:80px;" |[[File:Question mark white icon.svg|40px]]
| symbole = question
|valign="top" style="padding-left:20px"| '''Question'''
| cadre = oui
Je comprends ce que signifie la factorielle pour un nombre entier positif. En revanche, pourquoi avoir défini <math>\scriptstyle{0! = 1}</math> ? Cette expression ne semble pas avoir de sens. Puis, quitte à donner une valeur à 0!, on devrait avoir <math>\scriptstyle{0! = 0*1 = 0}</math>, non?
| contenu = '''Question'''
|}
<br /><br /><br /><br /><br />
 
Je comprends ce que signifie la factorielle pour un nombre entier positif. En revanche, pourquoi avoir défini <math>\scriptstyle{0! = 1}</math> ? Cette expression ne semble pas avoir de sens. Puis, quitte à donner une valeur à 0!, on devrait avoir <math>\scriptstyle{0! = 0*10✕1 = 0}</math>, non?
C'est vrai qu'à priori c'est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des "n premiers entiers positifs", alors <math>\scriptstyle{0!}</math>, le "produit des 0 premiers entiers positifs", n'a simplement aucun sens.
|}}
 
 
C'est vrai qu'à priori c'est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des "n premiers entiers positifs", alors <math>\scriptstyle{0!}</math>, le "produit des 0 premiers entiers positifs", n'a simplement aucun sens.
En fait, la valeur donnée à la factorielle de 0 est purement conventionnelle. Cette convention a été choisie pour deux raisons:
 
*On aurait pu décider de ne pas donner de sens à <math>\scriptstyle{0!}</math> tout comme on ne donne pas de sens à <math>\scriptstyle{\frac{1}{0}}</math>. C'est une position qui aurait été défendable. Seulement, cela aurait empêché la formulation générale de certaines formules qui seront présentées plus loin dans le cours et nous obligerait à formuler des "conditions d'existence" avant chaque formule utilisant la factorielle.
*Si on avait choisi <math>\scriptstyle{0! = 0}</math> ou bien une toute autre valeur, la définition au-dessus n'aurait pas pu marcher. On aurait eu par exemple <math>\scriptstyle{1! = 0!*0✕0 = 0}</math>. Si on veut donner une valeur à <math>\scriptstyle{0!}</math>, la seule possible est 1.
C'est un peu comme quand on a défini '''a<sup>0</sup> = 1'''. Mettre n'importe quel nombre à la puissance 0 n'a à priori pas de sens. Mais on a la formule bien connue:<br /><br />
 
<math>a^{x+y} = a^x*\times a^y</math><br /><br />
 
Et on aimerait qu'elle ce soit vrai aussi si x ou y est nul, ce qui force à définir '''a<sup>0</sup> = 1'''. Il s'agit du même type de choix conventionnel que dans les cas de la factorielle de 0.
 
== Calcul avec les factorielles ==
 
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Un calcul simple peut cependant nous donner la réponse:
 
<math>\frac{200!}{199!} = \frac{199!*200\times200}{199!} = 200</math>
 
On a simplement utilisé la définition de la factorielle et simplifié la fraction. On peut faire cela avec n'importe quelle fraction de factorielle.
Par exemple:
 
<math>\frac{50!}{48!} = \frac{48!*49*50\times49\times50}{48!} = 49*50\times50 = 2450</math>
 
On peut écrire de manière plus générale, avec '''n''' et '''k''' deux entiers positifs tel que '''k''' est le plus petit des deux:
 
<math>\begin{align}
\frac{n!}{(n-k)!} &= \frac{(n-k)!*\times(n-k+1)*\times(n-k+2)*\times...*\times(n-1)*\times n}{(n-k)!} \\
&= (n-k+1)*\times(n-k+2)*\times...*\times(n-1)*\times n
\end{align}</math>
 
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