« Combinatoire/Factorielles » : différence entre les versions
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== Définition ==
Dans ce cours nous aurons souvent besoin de calculer des produits d'entiers décroissants, comme par exemple
Un tel produit est appelé une '''factorielle''', et est usuellement noté par un point d'exclamation. On a par exemple
{{Cadre définition|titre=Définition de la factorielle|contenu=Soit n un nombre entier naturel. On va définir sa factorielle par récurrence. <br />Si n = 0, alors on définit <br /><math>0! = 1</math>;
Autrement, <br /><math>n!=(n-1)!
|cbord=blue|cfondtitre=#CCEEFF|cfondtexte=#EEF0FF}}
On vérifie que cette définition correspond bien à l'idée intuitive que l'on en avait donné au-dessus. Ainsi, par exemple,
<math>5! = 4!
<math>5! = (3!
<math>5! = (2!
<math>5! = (1!
<math>5! = (0!
<math>5! = 1
On obtient donc la bonne égalité.
{{
| largeur = 80px
| couleur = 7fff00
| symbole = question
| cadre = oui
Je comprends ce que signifie la factorielle pour un nombre entier positif. En revanche, pourquoi avoir défini <math>\scriptstyle{0! = 1}</math> ? Cette expression ne semble pas avoir de sens. Puis, quitte à donner une valeur à 0!, on devrait avoir <math>\scriptstyle{0! = 0*1 = 0}</math>, non?▼
| contenu = '''Question'''
|}▼
▲Je comprends ce que signifie la factorielle pour un nombre entier positif. En revanche, pourquoi avoir défini
C'est vrai qu'à priori c'est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des "n premiers entiers positifs", alors <math>\scriptstyle{0!}</math>, le "produit des 0 premiers entiers positifs", n'a simplement aucun sens.▼
▲C'est vrai qu'à priori c'est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des "n premiers entiers positifs", alors
En fait, la valeur donnée à la factorielle de 0 est purement conventionnelle. Cette convention a été choisie pour deux raisons:
*On aurait pu décider de ne pas donner de sens à
*Si on avait choisi
C'est un peu comme quand on a défini '''a<sup>0</sup> = 1'''. Mettre n'importe quel nombre à la puissance 0 n'a à priori pas de sens. Mais on a la formule bien connue:
<math>a^{x+y} = a^x
Et on aimerait qu'elle ce soit vrai aussi si x ou y est nul, ce qui force à définir '''a<sup>0</sup> = 1'''. Il s'agit du même type de choix conventionnel que dans les cas de la factorielle de 0.
== Calcul avec les factorielles ==
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Un calcul simple peut cependant nous donner la réponse:
<math>\frac{200!}{199!} = \frac{199!
On a simplement utilisé la définition de la factorielle et simplifié la fraction. On peut faire cela avec n'importe quelle fraction de factorielle.
Par exemple:
<math>\frac{50!}{48!} = \frac{48!
On peut écrire de manière plus générale, avec '''n''' et '''k''' deux entiers positifs tel que '''k''' est le plus petit des deux:
<math>\begin{align}
\frac{n!}{(n-k)!} &= \frac{(n-k)!
&= (n-k+1)
\end{align}</math>
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| idfaculté = mathématiques
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}}
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