« Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions

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Ligne 46 :
* Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~v'(x)=\frac1x</math>
* Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~g'(x)=\frac12~\left ( 1 \times \frac1{1+x} \right )</math>
{{cadre simpleEncadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}</math>}}
 
'''2.''' Pour tout <math>x\in ]-1;+\infty[,~2+2x>0</math>, donc sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'\,</math> est strictement positive. Par conséquent : {{cadre simpleEncadre|contenu=''g'' est une fonction strictement croissante.}}
 
'''3.''' <math>\lim_{t\rightarrow -1^+} t+1 = 0^+</math> et <math>\lim_{t\rightarrow0^+}\ln(t)=-\infty</math>
Ligne 56 :
Donc <math>\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac12\ln(x+1)=-\infty</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\lim_{x \rightarrow -1^+}g(x)=-\infty</math>}}
 
'''4.''' <math>\lim_{t\rightarrow+\infty}t+1=+\infty</math> et <math>\lim_{t\rightarrow+\infty}\ln(t)=+\infty</math>
Ligne 64 :
Donc <math>\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac12\ln(x+1)=+\infty</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty</math>}}
 
'''5.''' [[Fichier:WV-ExoMaths00001.gif]]
Ligne 76 :
\end{align}</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=''g'' est bien solution de l'équation différentielle ''(E)''}}}}