« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions

\end{align}</math>

 

 

'''2.'''

* De plus , <math>8-2~\ln(2) \approx 6,61</math> donc <math>g(\sqrt 2) >0</math>

 

 

== Partie B ==

* <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac 1{2x} =0</math>

 

 

'''b.''' *<math>\begin{cases}

* <math>\lim_{x \rightarrow 0^+} -\frac 1{2x} =-\infty</math>

 

 

Cela implique pour la courbe représentative de f la propriété suivante :

 

'''c.''' On pose deux fonctions u et v définies par :

\end{align}</math>

 

 

'''d.''' * pour tout <math>x \in I,~g(x)>0</math> d'après la partie A

* pour tout <math>x\in I,~4x^2>0</math>

 

 

'''e.''' <math>\begin{array}{c|ccc|}

donc <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)-\frac x4=0</math>

 

 

'''b.''' * On résout l'équation <math>(E)~:~f(x)=\frac x4</math> d'inconnue <math>x\in I</math> pour trouver l'abscisse du point d'intersection

* L'ordonnée du point d'intersection est alors <math>\frac{\sqrt e}4</math>, car il est sur <math>\mathcal D:y=\frac x4</math>

 

 

'''c.''' On étudie pour tout <math>x\in I</math> le signe de l'expression <math>f(x)-\frac x4</math>.

* <math>\mathcal C</math> est au-dessus de <math>\mathcal D \Leftrightarrow 2\ln(x)-1 \geq 0 \Leftrightarrow \ln(x) \geq \frac12 \Leftrightarrow x \geq \sqrt e</math> (par croissance de la fonction ''ln'')

 

* sur l'intervalle <math>]0,\sqrt e]</math>, <math>\mathcal C</math> est en-dessous de <math>\mathcal D</math>

* sur l'intervalle <math>[\sqrt e,+\infty[</math>,<math>\mathcal C</math> est au-dessus de <math>\mathcal D</math>}}

où ''K'' est une constante. Puisqu'on ne demande ''qu'une'' primitive, on peut par exemple choisir ''K = 0''.

 

 

'''b.''' [[Fichier:WV-ExoMaths00003.gif]]

\end{align}</math>

 

 

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