« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

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Ligne 35 :
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\leq 0</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=On en déduit que ƒ est décroissante.}}
 
'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
Ligne 41 :
* <math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}}
 
'''3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>'''
Ligne 52 :
:<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}}
 
'''4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.'''
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}</math>, grandeur négative.
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est en-dessous de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}
 
'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
Ligne 69 :
\end{align}</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 a pour équation <math>y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+\frac52</math>}}
}}
 
Ligne 96 :
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\geq 0</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=On en déduit que ƒ est croissante.}}
 
'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
Ligne 102 :
* <math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}}
 
'''3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>'''
Ligne 113 :
:<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}}
 
'''4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.'''
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}</math>, grandeur positive.
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est au-dessus de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}
 
'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
Ligne 129 :
\end{align}</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 a pour équation <math>y=2(1-e^{-2})x-\frac52+6e^{-2}</math>}}
}}
 
Ligne 255 :
\end{align}</math>
 
{{cadre simpleEncadre|contenu=Donc ƒ<sub>''λ''</sub> est paire.}}