« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

Maintenance, remplacement: Résultat| → Encadre|contenu= (4) avec AWB
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Une suite <math>(u_n)\,</math> d'éléments de <math>E\,</math> est '''une suite de Cauchy''' si, et seulement si :<br />
<center>{{RésultatEncadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0 ,\; \exist n_{\varepsilon} \in\N| \forall (n,p)\in\N^2 , n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \|u_{n+p} - u_n\| < \varepsilon\,</math> }}</center>
}}
 
* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing\,</math>
* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0\,</math>
alors <center>{{RésultatEncadre|contenu=<math>\exist! x\in E\;|\; \bigcap_{n\in\N} F_n = \{x\}\,</math>}}</center>
}}
 
Soient <math>E\,</math> et <math>F\,</math> deux Banach, <math>f : A\subset E \to F\,</math> et <math>a\in \bar A\,</math>.<br />
<math>\lim_{x\to a}f(x)\,</math> existe dans <math>F\,</math> si, et seulement si : <br />
<center>{{RésultatEncadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0,\;\exist\delta_{\varepsilon} >0|\forall x,y\in A , \|x-y\| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon\,</math>}}</center>
}}
 
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f\,</math> est <math>k\,</math>-contractante, on a donc :<br />
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|\,</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br />
<center>{{RésultatEncadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\|\,</math>}}</center><br />
puis que :<br />
<math>\forall (n,p)\in\N^2\,</math><br />
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