« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions
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Ligne 15 :
| contenu =
Une suite <math>(u_n)\,</math> d'éléments de <math>E\,</math> est '''une suite de Cauchy''' si, et seulement si :<br />
<center>{{
}}
Ligne 41 :
* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing\,</math>
* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0\,</math>
alors <center>{{
}}
Ligne 51 :
Soient <math>E\,</math> et <math>F\,</math> deux Banach, <math>f : A\subset E \to F\,</math> et <math>a\in \bar A\,</math>.<br />
<math>\lim_{x\to a}f(x)\,</math> existe dans <math>F\,</math> si, et seulement si : <br />
<center>{{
}}
Ligne 70 :
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f\,</math> est <math>k\,</math>-contractante, on a donc :<br />
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|\,</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br />
<center>{{
puis que :<br />
<math>\forall (n,p)\in\N^2\,</math><br />
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