« Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier » : différence entre les versions

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__TOC__<br />
{{Théorème
| contenu=Tout signal périodique peut se décomposer en somme de sinus et de cosinus en progression harmonique.}}
 
<br />
== Série de Fourier ==
 
Dans le cas le plus courant en sciences physiques, la série de Fourier est relative à la variable <math>t</math> et à la période notée <math>T</math>. Alors :
 
:<math>y(t) = B_0 + A_1 \cdot \sin (\omega t) + A_2 \cdot \sin (2 \omega t) + \ldots + A_n \cdot \sin (n \omega t) + \ldots + B_1 \cdot \cos (\omega t) + B_2 \cdot \cos (2 \omega t) + \ldots + B_n \cdot \cos (n \omega t) + \ldots</math>,
 
Ouou de façon condensée :
 
:<math>y(t) = B_0 + \sum_{k=1}^\infty { \left[ A_k \cdot \sin \left( k \omega t \right) + B_k \cdot \cos \left( k \omega t \right) \right] }</math>,
 
avec
 
:<math>B_0 = \frac{1}{T} \int_0^T y(t) \cdot \mathrm dt</math> qui représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur <math>y</math>,
 
:<math>A_k = \frac{2}{T} \int_0^T y(t) \cdot \sin (k \omega t ) \cdot \mathrm dt</math>,
 
:<math>B_k = \frac{2}{T} \int_0^T y(t) \cdot \cos (k \omega t ) \cdot \mathrm dt</math>.
 
=== Dans le domaine des angles ===
On peut aisément transposer les formules précédentes pour travailler dans les angles. En effet, un signal sinusoïdal, de pulsation ω et de période T tel que θ = ωt et 2π = ωT transforme les formules suivantes en :
 
On peut aisément transposer les formules précédentes pour travailler dans les angles. En effet, un signal sinusoïdal, de pulsation ω<math>\omega</math> et de période <math>T</math> tel que θ<math>\theta = ωt\omega t</math> et <math>2 \pi = ωT\omega T</math> transforme les formules suivantes en :
<math>y(\theta) = B_0 + A_1 sin \theta + \ldots + A_k sin (k \theta) + \ldots + B_1 cos \theta + B_2 cos (2 \theta) + \ldots + B_k cos (k \theta) + \ldots</math>
 
:<math>y(\theta) = B_0 + A_1 \cdot \sin \theta + + A_2 \cdot \sin (2 \theta) \ldots + A_k \cdot \sin (k \theta) + \ldots + B_1 \cdot \cos \theta + B_2 \cdot \cos (2 \theta) + \ldots + B_k \cdot \cos (k \theta) + \ldots</math>,
Ou de façon condensée :
 
Ouou de façon condensée :
<math>y(\theta) = B_0 + \sum_{k=1}^\infty { \left[ A_k sin \left( k \theta \right) + B_k cos \left( k \theta \right) \right] }</math>
 
:<math>y(\theta) = B_0 + \sum_{k=1}^\infty { \left[ A_k \cdot \sin \left( k \theta \right) + B_k \cdot \cos \left( k \theta \right) \right] }</math>,
 
avec
 
<math>B_0 = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} y(\theta) \cdot \mathrm d\theta</math>,
 
<math>A_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} y(\theta) \cdot \sin (k \theta ) \cdot \mathrm d\theta</math>,
 
<math>B_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} y(\theta) \cdot \cos (k \theta ) \cdot \mathrm d\theta</math>.
 
== Cas particuliers ==
 
=== Fonction paire ===
 
Une fonction est dite paire si : <math>y(t) = y(-t)\,</math>. Dans ce cas <math>b_kB_k = 0</math>
 
=== Fonction impaire ===
 
Une fonction est dite impaire si : <math>y(t) = - y(t)\,</math>. Dans ce cas <math>a_kA_k = 0</math>