« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions

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::<math>A = a_mX^m + a_{m-1}X^{m-1} + \cdots + a_0 \quad \text{et}\quad B = b_nX^n + b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_0 \quad \text{avec}\quad a_m \neq 0 \;\text{et}\; b_n\neq 0\;</math>
 
:Soit ''p'' &nbsp;=&nbsp;''m''&nbsp;-&nbsp;''n''. Si ''p'' est strictement négatif, c'est-à-dire si ''n'' est strictement plus grand que ''m'', il suffit de prendre ''Q'' égal au polynôme constant 0 et ''R'' égal à ''A'' pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Si ''p'' est égal à 0, c'est-à-dire si ''n'' est égal à ''m'' :
::<math>A = \frac {a_m}{b_m} B + R \quad \text{avec}\quad R = \left(a_{m-1} - \frac {a_mb_{m-1}}{b_m}\right)X^{m-1} + \cdots + \left(a_1 - \frac{a_mb_1}{b_m}\right)X + \left(a_0 - \frac {a_mb_0}{b_m}\right) \;</math>