« Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass » : différence entre les versions

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|titre=Théorème de Liouville
|contenu=
Si <math> f</math> est holomorphe dans <math>\C</math> et s'il existe <math>N \in \N</math> et <math>C>0</math> tels que: <math>|f(z)|\leq C(1+|z|)^{N} \; \; \forall z \in \C</math> </br />
alors <math>f</math> est un polynôme de degré inférieur ou égal à <math>N</math>
}}
== Principe du (module) maximum ==
Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de <math>\C</math> dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante. </br />
Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la forntière de l'adhérence de cet ouvert connexe.
{{Théorème
|titre=Principe du maximum
|contenu=
-Si <math>f</math> est holomorphe sur l'ouvert <math>\Omega \subset \C</math> connexe et s'il existe <math>z_{0} \in \Omega</math> tel que <math>|f(z_{0})|\geq |f(z)| \; \; \forall z</math> dans un voisinage de <math>z_{0}</math> (<math>|f|</math> admet un maximum local dans <math>\Omega</math>) alors <math>f</math> est constante dans <math>\Omega</math>.</br />
-Si l'ouvert <math>\Omega </math> est borné et <math>f</math> dans <math>\Omega</math> et continue dans <math>\bar{\Omega}</math> (<math>\bar{\Omega}</math> désignant l'adhérence de <math>\Omega</math>) alors <math>sup_{\bar{\Omega}}|f|=sup_{\partial \Omega} |f|</math>
}}
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