« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions
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La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. On utilise par la suite, les notations du paragraphe précédent.
'''Première étape : unicité''' de la division, c'est-à-dire : « Le couple (''Q'',
:La démonstration se fonde sur une propriété des degrés, le degré du produit de deux polynômes ''M'' et ''N'' est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :
::<math>\text{deg } (M\cdot N) = \text{deg }M + \text{deg }N</math>
:On suppose l'existence de deux couples (''Q''<sub>1</sub>,
::<math>A = BQ_1 + R_1,\quad A = BQ_2 + R_2 \quad\text{donc}\quad (1)\quad B(Q_1-Q_2) + R_1-R_2 = 0 </math>
:Si la différence entre ''Q''<sub>1</sub> et ''Q''<sub>2</sub> n'était pas nulle, le premier terme de la somme ''(1)'' serait au moins de degré de ''B'', noté ''n''. Comme ''R''<sub>1</sub> et ''R''<sub>2</sub> sont de degrés strictement inférieurs à ''n'', le terme de gauche de l'égalité ''(1)'' ne pourrait être nulle. On en déduit que ''Q''<sub>1</sub> et ''Q''<sub>2</sub> sont égaux, l'égalité ''(1)'' montre alors que ''R''<sub>1</sub> et ''R''<sub>2</sub> sont aussi égaux.
'''Deuxième étape : existence''', c'est-à-dire « Il existe un couple (''Q'',
:Soient ''m'' et ''n'' les degrés de ''A'' et ''B''. Les polynômes sont notés de la manière suivante :
::<math>A = a_mX^m + a_{m-1}X^{m-1} + \cdots + a_0 \quad \text{et}\quad B = b_nX^n + b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_0 \quad \text{avec}\quad a_m \neq 0 \;\text{et}\; b_n\neq 0\;</math>
:Soit ''p'' =
::<math>A = \frac {a_m}{b_m} B + R \quad \text{avec}\quad R = \left(a_{m-1} - \frac {a_mb_{m-1}}{b_m}\right)X^{m-1} + \cdots + \left(a_1 - \frac{a_mb_1}{b_m}\right)X + \left(a_0 - \frac {a_mb_0}{b_m}\right) \;</math>
Ligne 61 :
|x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || ||style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black"|x{{exp|2}}
|- style="text-align:right"
|style="border-top:thin solid black"| || style="border-top:thin solid black"|- 4x{{exp|3}}||style="border-top:thin solid black"| || || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|
|}
* ''Étape 2'' : division de -4x{{exp|3}} - x par x{{exp|2}} + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x{{exp|2}} + 3x)
Ligne 70 :
|x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || ||style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black"|x{{exp|2}} - 4x
|- style="text-align:right"
|style="border-top:thin solid black"| || style="border-top:thin solid black"|- 4x{{exp|3}}||style="border-top:thin solid black"| ||- x || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|
|- style="text-align:right"
| ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|
|- style="text-align:right"
| || style="border-top:thin solid black"|
|}
* ''Étape 3'' : division de 12x{{exp|2}} - 3x + 8 par x{{exp|2}} + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)
Ligne 83 :
|x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}|| || ||style="text-align:left;border-top:thin solid black;border-left:thin solid black"|x{{exp|2}} - 4x + 12
|- style="text-align:right"
|style="border-top:thin solid black"| || style="border-top:thin solid black"|- 4x{{exp|3}}||style="border-top:thin solid black"| ||- x || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|
|- style="text-align:right"
| ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x || ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|
|- style="text-align:right"
| || style="border-top:thin solid black"|
|- style="text-align:right"
| || || 12x{{exp|2}}||+ 36x ||+12 ||style="text-align:left;border-left:thin solid black"|
|- style="text-align:right"
| || || style="border-top:thin solid black"|
|}
* ''Conclusion'' : x{{exp|4}} - x {{exp|3}} + x{{exp|2}} - x + 8 = (x{{exp|2}} + 3x + 1)(x{{exp|2}} - 4x + 12) - 33x - 4
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